5-\mathrm{O} estado tensional no ponto P é definido pelas componentes \sigma_{x}=-\sigma_{y}=36, \tau_{x y}=27, \tau_{x z}=\tau_{y z}=0 e \sigma_{z}=18 relativas aos eixos x, y e z. Determine: (a) componentes do vetor tensão atuando no plano com normal unitária dada por ( 2 / 3,-2 / 3, 1 / 3 ) passando por P; (b) magnitude do vetor tensão obtido em (a); (c) componente normal do vetor tensão obtido em (a); (d) ângulo formado entre o vetor tensão obtido em (a) e sua componente normal.

Passo 1

O enunciado dá o estado tensional no ponto P e pede o vetor tensão (tração) sobre o plano cujo vetor normal unitário é \left(\tfrac{2}{3},-\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}\right), além da magnitude, da componente normal e do ângulo entre o vetor tensão e sua componente normal. Dados fornecidos (todos em unidades de tensão, por ex. MPa, mas a unidade não é necessária para os cálculos):
\sigma_x=36,\qquad \sigma_y=-36,\qquad \sigma_z=18,
\tau_{xy}=27,\qquad \tau_{xz}=0,\qquad \tau_{yz}=0,
vetor normal unitário
\mathbf{n}=\left(\tfrac{2}{3},-\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}\right).
Perguntas a responder:
(a) componentes do vetor tensão atuando no plano com esse normal; (b) magnitude do vetor tensão; (c) componente normal do vetor tensão; (d) ângulo entre o vetor tensão e sua componente normal.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (noção básica): o vetor tensão (tração) \mathbf{t} atuando num plano com normal unitário \mathbf{n} é dado pelo produto da matriz tensão \boldsymbol{\sigma} pelo vetor normal:
\mathbf{t}=\boldsymbol{\sigma}\,\mathbf{n}.
Aqui \boldsymbol{\sigma} é a matriz simétrica das componentes:
\boldsymbol{\sigma}=\begin{pmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz}\\[4pt] \tau_{xy} & \sigma_y & \tau_{yz}\\[4pt] \tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_z \end{pmatrix}.
Explicação curta: multiplicamos cada linha da matriz tensão pelo vetor normal para obter as componentes de \mathbf{t}.]

Passo 3

Montamos a matriz tensão usando os dados:
\boldsymbol{\sigma}=\begin{pmatrix} 36 & 27 & 0\\[4pt] 27 & -36 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 18 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{n}=\begin{pmatrix}\tfrac{2}{3}\\[4pt]-\tfrac{2}{3}\\[4pt]\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calculamos as componentes de \mathbf{t}=\boldsymbol{\sigma}\mathbf{n} linha a linha.
Cálculo de t_x:
t_x=36\cdot\tfrac{2}{3}+27\cdot\left(-\tfrac{2}{3}\right)+0\cdot\tfrac{1}{3} =24-18+0=6.
Cálculo de t_y:
t_y=27\cdot\tfrac{2}{3}+(-36)\cdot\left(-\tfrac{2}{3}\right)+0\cdot\tfrac{1}{3} =18+24+0=42.
Cálculo de t_z:
t_z=0\cdot\tfrac{2}{3}+0\cdot\left(-\tfrac{2}{3}\right)+18\cdot\tfrac{1}{3} =0+0+6=6.
Portanto, o vetor tensão é
\mathbf{t}=\begin{pmatrix}6\\[4pt]42\\[4pt]6\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora a magnitude do vetor tensão. Fórmula da norma Euclidiana em 3D:
\lVert\mathbf{t}\rVert=\sqrt{t_x^2+t_y^2+t_z^2}.
Aplicando:
\lVert\mathbf{t}\rVert=\sqrt{6^2+42^2+6^2} =\sqrt{36+1764+36} =\sqrt{1836}.
Simplificando o radical:
1836=4\cdot459=36\cdot51\Rightarrow \sqrt{1836}=6\sqrt{51}.
Valor aproximado:
\lVert\mathbf{t}\rVert=6\sqrt{51}\approx 42,849.

Passo 6

Componente normal (escalar) do vetor tensão: é o produto escalar entre \mathbf{n} e \mathbf{t},
\sigma_n=\mathbf{n}\cdot\mathbf{t}.
Calculamos:
\sigma_n=\tfrac{2}{3}\cdot 6 + \left(-\tfrac{2}{3}\right)\cdot 42 + \tfrac{1}{3}\cdot 6 =4-28+2=-22.
Isso é a tensão normal (escalar) sobre o plano; o sinal negativo indica compressão segundo a convenção usual.
O vetor componente normal (vetor projeção de \mathbf{t} sobre \mathbf{n}) é
\mathbf{t}_n=\sigma_n\,\mathbf{n} =-22\begin{pmatrix}\tfrac{2}{3}\\[4pt]-\tfrac{2}{3}\\[4pt]\tfrac{1}{3}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\tfrac{44}{3}\\[4pt]\tfrac{44}{3}\\[4pt]-\tfrac{22}{3}\end{pmatrix}.]

Passo 7

Ângulo entre \mathbf{t} e sua componente normal \mathbf{t}_n.
Fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores \mathbf{a} e \mathbf{b}:
\cos\theta=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\lVert\mathbf{a}\rVert\lVert\mathbf{b}\rVert}.
Aqui \mathbf{b}=\mathbf{t}_n=\sigma_n\mathbf{n}. Observação útil: \mathbf{t}\cdot\mathbf{t}_n=\sigma_n(\mathbf{t}\cdot\mathbf{n})=\sigma_n^2 e \lVert\mathbf{t}_n\rVert=|\sigma_n| porque \lVert\mathbf{n}\rVert=1. Logo
\cos\theta=\frac{\sigma_n^2}{\lVert\mathbf{t}\rVert\,|\sigma_n|=\frac{|\sigma_n|}{\lVert\mathbf{t}\rVert}}.
Substituindo os valores:
\cos\theta=\frac{22}{6\sqrt{51}}.
Valor numérico
\cos\theta\approx 0,51363\quad\Rightarrow\quad \theta=\operatorname{arccos}(0,51363)\approx 59,09^\circ.

Resposta

(a) \mathbf{t}=\begin{pmatrix}6\\[4pt]42\\[4pt]6\end{pmatrix}.\n
(b) \lVert\mathbf{t}\rVert=6\sqrt{51}\approx 42,849.\n
(c) componente normal (escalar) \sigma_n=-22; componente normal (vetor) \mathbf{t}_n=\displaystyle\begin{pmatrix}-\tfrac{44}{3}\\[4pt]\tfrac{44}{3}\\[4pt]-\tfrac{22}{3}\end{pmatrix}.\n
(d) ângulo entre \mathbf{t} e \mathbf{t}_n: \theta\approx 59,09^\circ.]

Exercícios relacionados