5-\mathrm{O} estado tensional no ponto P é definido pelas componentes \sigma_{x}=-\sigma_{y}=36, \tau_{x y}=27, \tau_{x z}=\tau_{y z}=0 e \sigma_{z}=18 relativas aos eixos x, y e z. Determine: (a) componentes do vetor tensão atuando no plano com normal unitária dada por ( 2 / 3,-2 / 3, 1 / 3 ) passando por P; (b) magnitude do vetor tensão obtido em (a); (c) componente normal do vetor tensão obtido em (a); (d) ângulo formado entre o vetor tensão obtido em (a) e sua componente normal.
Passo 1
O enunciado dá o estado tensional no ponto P e pede o vetor tensão (tração) sobre o plano cujo vetor normal unitário é \left(\tfrac{2}{3},-\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}\right), além da magnitude, da componente normal e do ângulo entre o vetor tensão e sua componente normal. Dados fornecidos (todos em unidades de tensão, por ex. MPa, mas a unidade não é necessária para os cálculos):
Perguntas a responder:
(a) componentes do vetor tensão atuando no plano com esse normal; (b) magnitude do vetor tensão; (c) componente normal do vetor tensão; (d) ângulo entre o vetor tensão e sua componente normal.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (noção básica): o vetor tensão (tração) \mathbf{t} atuando num plano com normal unitário \mathbf{n} é dado pelo produto da matriz tensão \boldsymbol{\sigma} pelo vetor normal:
\mathbf{t}=\boldsymbol{\sigma}\,\mathbf{n}.
Aqui \boldsymbol{\sigma} é a matriz simétrica das componentes:
Aqui \mathbf{b}=\mathbf{t}_n=\sigma_n\mathbf{n}. Observação útil: \mathbf{t}\cdot\mathbf{t}_n=\sigma_n(\mathbf{t}\cdot\mathbf{n})=\sigma_n^2 e \lVert\mathbf{t}_n\rVert=|\sigma_n| porque \lVert\mathbf{n}\rVert=1. Logo
(c) componente normal (escalar) \sigma_n=-22; componente normal (vetor) \mathbf{t}_n=\displaystyle\begin{pmatrix}-\tfrac{44}{3}\\[4pt]\tfrac{44}{3}\\[4pt]-\tfrac{22}{3}\end{pmatrix}.\n
(d) ângulo entre \mathbf{t} e \mathbf{t}_n: \theta\approx 59,09^\circ.]