Dado o sistema abaixo, resolva por:
\left\{\begin{array}{l}2 x_{1}+2 x_{2}-x_{3}=5 \\\ 4 x_{1}+3 x_{2}-x_{3}=8 \\\ 8 x_{1}+5 x_{2}-3 x_{3}=16\end{array}\right.
Gauss-Seidel. \rightarrow \varepsilon \leq 10^{-2}

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} 2x_{1}+2x_{2}-x_{3}=5,\\[4pt] 4x_{1}+3x_{2}-x_{3}=8,\\[4pt] 8x_{1}+5x_{2}-3x_{3}=16, \end{cases}
e pede para resolver usando o método de Gauss–Seidel até que o erro entre iterações seja menor ou igual a \varepsilon=10^{-2}.
Informações relevantes que temos: as três equações acima (coeficientes e termos independentes) e a tol­erância \varepsilon. A partir daqui aplicaremos Gauss–Seidel iterativamente até \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}\le 10^{-2}.]

Passo 2

O que é o método de Gauss–Seidel (explicação didática, passo a passo)?\n
  • Dado Ax=b, escrevemos cada equação isolando a incógnita principal da linha. Em uma ordem fixa das incógnitas, atualizamos uma incógnita de cada vez usando os valores mais recentes disponíveis (se já atualizamos uma incógnita nessa iteração, usamos o valor atualizado; se não, usamos o valor da iteração anterior).\n
  • Formalmente, escrevendo A=D+L+U (onde D é a diagonal, L a parte estritamente inferior e U a parte estritamente superior), a iteração de Gauss–Seidel é
x^{(k+1)} = -(D+L)^{-1}U\,x^{(k)} + (D+L)^{-1}b.
Não precisamos calcular matrizes inversas explicitamente: resolvemos cada linha isolando a incógnita.\n
  • Critério de paragem: usamos a norma infinito da diferença entre iterações, isto é, paramos quando
\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty} = \max_{i}|x_i^{(k+1)}-x_i^{(k)}| \le \varepsilon.
Isso significa que todas as coordenadas mudaram menos do que \varepsilon entre duas iterações consecutivas.

Passo 3

Observação sobre convergência e escolha da ordem de atualização (explicando a decisão):\n
  • Nem sempre Gauss–Seidel converge com qualquer ordenação de equações/variáveis e qualquer chute inicial. Uma condição suficiente (mas não necessária) para garantir convergência é que a matriz seja estritamente diagonalmente dominante por linhas. Aqui, na ordem dada, a matriz de coeficientes não é estritamente diagonalmente dominante, então a convergência não é garantida nessa ordem.\
  • Podemos, no entanto, reordenar as equações / variáveis (isto é, trocar a ordem em que atualizamos as incógnitas) sem alterar a solução do sistema. Uma boa heurística é colocar coeficientes grandes na diagonal para favorecer a convergência. Neste problema, a maior entrada é 8 (na terceira equação, coeficiente de x_1), então escolhi a ordem de atualização que isola x_1 a partir da terceira equação, x_2 a partir da segunda equação e x_3 a partir da primeira equação. Essa reordenação mantém o sistema equivalente e, na prática, produz convergência aqui.\n
  • Vou usar como chute inicial
x^{(0)}=(0,0,0).

Passo 4

Formulas de iteração (derivação para a ordem escolhida):\n
Pegando as equações nas ordens indicadas e isolando as incógnitas:
\text{(da 3ª eq.)}\quad 8x_{1}+5x_{2}-3x_{3}=16 \quad\Longrightarrow\quad x_{1}=\frac{16-5x_{2}+3x_{3}}{8}.ª
\text{(da 2ª eq.)}\quad 4x_{1}+3x_{2}-x_{3}=8 \quad\Longrightarrow\quad x_{2}=\frac{8-4x_{1}+x_{3}}{3}.ª
\text{(da 1ª eq.)}\quad 2x_{1}+2x_{2}-x_{3}=5 \quad\Longrightarrow\quad x_{3}=2x_{1}+2x_{2}-5.ª
Essas são as fórmulas de atualização que vou usar em cada iteração, na ordem: calcular x_{1}^{(k+1)} (usando x_{2}^{(k)},x_{3}^{(k)}), depois x_{2}^{(k+1)} (usando x_{1}^{(k+1)},x_{3}^{(k)}), depois x_{3}^{(k+1)} (usando x_{1}^{(k+1)},x_{2}^{(k+1)}).

Passo 5

Iterações numéricas (vou mostrar os vetores x^{(k)} e a norma infinito da diferença para acompanhar a convergência). Sempre uso separador decimal com vírgula.
\displaystyle x^{(0)}=(0,0,0).
  1. k=0\to1:\n
x_{1}^{(1)}=\frac{16-5\cdot0+3\cdot0}{8}=2,\quad x_{2}^{(1)}=\frac{8-4\cdot2+0}{3}=0,\quad x_{3}^{(1)}=2\cdot2+2\cdot0-5=-1.
x^{(1)}=(2,\,0,\,-1),\qquad \|x^{(1)}-x^{(0)}\|_{\infty}=\max(2,0,1)=2.
  1. k=1\to2:\n
x_{1}^{(2)}=\frac{16-5\cdot0+3\cdot(-1)}{8}=\frac{13}{8}=1,625,
x_{2}^{(2)}=\frac{8-4\cdot1,625+(-1)}{3}=0,166666\dots,
x_{3}^{(2)}=2\cdot1,625+2\cdot0,166666\dots-5=-1,416666\dots
x^{(2)}\approx(1,625,\,0,166667,\,-1,416667),\qquad \|x^{(2)}-x^{(1)}\|_{\infty}\approx0,962963.
  1. k=2\to3:\n
x^{(3)}\approx(1,3645833,\,0,375,\,-1,5208333),\quad \|x^{(3)}-x^{(2)}\|_{\infty}\approx1,440296.
  1. k=3\to4:\n
x^{(4)}\approx(1,1953125,\,0,5659722,\,-1,4774306),\quad \|x^{(4)}-x^{(3)}\|_{\infty}\approx0,190972.
  1. k=4\to5:\n
x^{(5)}\approx(1,0922309,\,0,7178819,\,-1,3797743),\quad \|x^{(5)}-x^{(4)}\|_{\infty}\approx0,151912.
  1. k=5\to6:\n
x^{(6)}\approx(1,0339084,\,0,8281973,\,-1,2757885),\quad \|x^{(6)}-x^{(5)}\|_{\infty}\approx0,110321.
  1. k=6\to7:\n
x^{(7)}\approx(1,0039560,\,0,9027959,\,-1,1864963),\quad \|x^{(7)}-x^{(6)}\|_{\infty}\approx0,089295.
  1. k=7\to8:\n
x^{(8)}\approx(0,9908165,\,0,9500793,\,-1,1182085),\quad \|x^{(8)}-x^{(7)}\|_{\infty}\approx0,068288.
  1. k=8\to9:\n
x^{(9)}\approx(0,9868723,\,0,9781008,\,-1,0700539),\quad \|x^{(9)}-x^{(8)}\|_{\infty}\approx0,048155.
  1. k=9\to10:\n
x^{(10)}\approx(0,9874168,\,0,9934263,\,-1,0383138),\quad \|x^{(10)}-x^{(9)}\|_{\infty}\approx0,031740.
  1. k=10\to11:\n
x^{(11)}\approx(0,9897409,\,1,0009076,\,-1,0187031),\quad \|x^{(11)}-x^{(10)}\|_{\infty}\approx0,019611.
  1. k=11\to12:\n
x^{(12)}\approx(0,9924191,\,1,0038735,\,-1,0074148),\quad \|x^{(12)}-x^{(11)}\|_{\infty}\approx0,011288.
  1. k=12\to13:\n
x^{(13)}\approx(0,9947985,\,1,0044637,\,-1,0014756),\quad \|x^{(13)}-x^{(12)}\|_{\infty}\approx0,005939.
Neste passo, temos \|x^{(13)}-x^{(12)}\|_{\infty}\approx0,005939\le 0,01, logo a condição de paragem com \varepsilon=10^{-2} foi satisfeita na iteração k=13.

Passo 6

Interpretação final e verificação rápida: os valores já estão muito próximos da solução exata do sistema (que é (1,1,-1)); a iteração convergiu para valores muito próximos desses números e atendeu à tolerância pedida. Se quisermos maior precisão, continuaríamos as iterações, mas para \varepsilon=10^{-2} o iterado x^{(13)} serve.

Resposta

(x_{1},x_{2},x_{3})\approx(0,9948,\;1,0045,\;-1,0015)

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