e pede para resolver usando o método de Gauss–Seidel até que o erro entre iterações seja menor ou igual a \varepsilon=10^{-2}.
Informações relevantes que temos: as três equações acima (coeficientes e termos independentes) e a tolerância \varepsilon. A partir daqui aplicaremos Gauss–Seidel iterativamente até \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}\le 10^{-2}.]
Passo 2
O que é o método de Gauss–Seidel (explicação didática, passo a passo)?\n
Dado Ax=b, escrevemos cada equação isolando a incógnita principal da linha. Em uma ordem fixa das incógnitas, atualizamos uma incógnita de cada vez usando os valores mais recentes disponíveis (se já atualizamos uma incógnita nessa iteração, usamos o valor atualizado; se não, usamos o valor da iteração anterior).\n
Formalmente, escrevendo A=D+L+U (onde D é a diagonal, L a parte estritamente inferior e U a parte estritamente superior), a iteração de Gauss–Seidel é
x^{(k+1)} = -(D+L)^{-1}U\,x^{(k)} + (D+L)^{-1}b.
Não precisamos calcular matrizes inversas explicitamente: resolvemos cada linha isolando a incógnita.\n
Critério de paragem: usamos a norma infinito da diferença entre iterações, isto é, paramos quando
Isso significa que todas as coordenadas mudaram menos do que \varepsilon entre duas iterações consecutivas.
Passo 3
Observação sobre convergência e escolha da ordem de atualização (explicando a decisão):\n
Nem sempre Gauss–Seidel converge com qualquer ordenação de equações/variáveis e qualquer chute inicial. Uma condição suficiente (mas não necessária) para garantir convergência é que a matriz seja estritamente diagonalmente dominante por linhas. Aqui, na ordem dada, a matriz de coeficientes não é estritamente diagonalmente dominante, então a convergência não é garantida nessa ordem.\
Podemos, no entanto, reordenar as equações / variáveis (isto é, trocar a ordem em que atualizamos as incógnitas) sem alterar a solução do sistema. Uma boa heurística é colocar coeficientes grandes na diagonal para favorecer a convergência. Neste problema, a maior entrada é 8 (na terceira equação, coeficiente de x_1), então escolhi a ordem de atualização que isola x_1 a partir da terceira equação, x_2 a partir da segunda equação e x_3 a partir da primeira equação. Essa reordenação mantém o sistema equivalente e, na prática, produz convergência aqui.\n
Vou usar como chute inicial
x^{(0)}=(0,0,0).
Passo 4
Formulas de iteração (derivação para a ordem escolhida):\n
Pegando as equações nas ordens indicadas e isolando as incógnitas:
\text{(da 2ª eq.)}\quad 4x_{1}+3x_{2}-x_{3}=8 \quad\Longrightarrow\quad x_{2}=\frac{8-4x_{1}+x_{3}}{3}.ª
\text{(da 1ª eq.)}\quad 2x_{1}+2x_{2}-x_{3}=5 \quad\Longrightarrow\quad x_{3}=2x_{1}+2x_{2}-5.ª
Essas são as fórmulas de atualização que vou usar em cada iteração, na ordem: calcular x_{1}^{(k+1)} (usando x_{2}^{(k)},x_{3}^{(k)}), depois x_{2}^{(k+1)} (usando x_{1}^{(k+1)},x_{3}^{(k)}), depois x_{3}^{(k+1)} (usando x_{1}^{(k+1)},x_{2}^{(k+1)}).
Passo 5
Iterações numéricas (vou mostrar os vetores x^{(k)} e a norma infinito da diferença para acompanhar a convergência). Sempre uso separador decimal com vírgula.
Neste passo, temos \|x^{(13)}-x^{(12)}\|_{\infty}\approx0,005939\le 0,01, logo a condição de paragem com \varepsilon=10^{-2} foi satisfeita na iteração k=13.
Passo 6
Interpretação final e verificação rápida: os valores já estão muito próximos da solução exata do sistema (que é (1,1,-1)); a iteração convergiu para valores muito próximos desses números e atendeu à tolerância pedida. Se quisermos maior precisão, continuaríamos as iterações, mas para \varepsilon=10^{-2} o iterado x^{(13)} serve.