que gera todos os autovetores (qualquer múltiplo escalar também é autovetor).]
Passo 5
Observação importante (didática): a multiplicidade algébrica de \lambda=4 é 2, mas o espaço próprio tem dimensão 1 (só um autovetor independente). Quando a multiplicidade geométrica (nº de autovetores independentes) é menor que a algébrica, a matriz é defectiva e não temos duas soluções da forma e^{\lambda t}\mathbf{v}. Precisamos encontrar um vetor generalizado \mathbf{v}_2 que satisfaça
(A-4I)\mathbf{v}_2=\mathbf{v}_1.
Esse vetor generalizado permite construir a segunda solução que envolverá um fator t\,e^{4t}.
as duas equações são equivalentes (uma é a negativa da outra), então há infinitas soluções; tomamos uma escolha simples. Por exemplo, escolhendo v_{2,2}=0 obtemos v_{2,1}=-1. Assim podemos escolher
ou seja \mathbf{x}^{(2)\prime}(t)=A\mathbf{x}^{(2)}(t). Portanto \mathbf{x}^{(2)} é mesmo solução.]
Passo 8
Verificar a independência linear das duas soluções (necessário para formar a solução geral). Avaliando em t=0 obtemos os vetores \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2. Calculamos o determinante da matriz com essas colunas:
Como o determinante é diferente de zero, \mathbf{x}^{(1)} e \mathbf{x}^{(2)} são linearmente independentes e formam um sistema fundamental de soluções.]
Passo 9
Escrever a solução geral como combinação linear das duas soluções fundamentais. Com constantes reais C_1,C_2 temos: