( 1,5 ponto) Um analista está estudando a propagação de um ma/ware (virus) em uma rede corporativa Ele observou o número de computadores (PCs) infectados ao longo do tempo conforme a tabela. Acredita-se que o crescimento da infecção siga um modelo exponencial do tipo: y=a . b^{x}. Responda as seguintes perguntas dele:
a. Ajuste os dados tabelados usando o método dos minimos quadrados.
b. Estime o número de computadores infectados após 6 horas.
Tempo (horas) PCs infectados
0 5
1 9
2 17
3 33
4 65

Passo 1

O enunciado dá a seguinte tabela (os dados abaixo eu peguei diretamente da tabela do enunciado):
\begin{array}{cc} \text{Tempo (horas)} & \text{PCs infectados} \\\\ 0 & 5 \\\\ 1 & 9 \\\\ 2 & 17 \\\\ 3 & 33 \\\\ 4 & 65 \\\ \end{array}
O que o exercício pede:
  1. Ajustar os dados a um modelo exponencial do tipo \;y=a\cdot b^{x}\; usando o método dos mínimos quadrados.
  2. Estimar o número de computadores infectados após 6 horas.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática e passo a passo):
Um modelo exponencial \;y=a\cdot b^{x}\; pode ser linearizado aplicando logaritmo natural em ambos os lados. Isso transforma o problema num ajuste linear, que é fácil de resolver com mínimos quadrados. Vamos ensinar isso devagarinho:
  • Tomando ln em \;y=a\cdot b^{x}\; obtemos
\ln y = \ln a + x\ln b.
  • Se definirmos as variáveis transformadas
Y=\ln y,\quad A=\ln a,\quad B=\ln b,
então o modelo vira uma reta
Y = A + Bx.
  • Ajustar uma reta Y = A + Bx pelos mínimos quadrados significa escolher A e B que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos. As fórmulas de regressão linear (aplicáveis aqui) são:
B=\frac{n\sum xY - \sum x\sum Y}{n\sum x^{2} - (\sum x)^{2}}, \qquad A=\frac{\sum Y - B\sum x}{n},
onde n é o número de pontos. Depois recuperamos
a=e^{A},\qquad b=e^{B}.
Vou aplicar isso aos dados transformados passo a passo.

Passo 3

Transformando os dados: calculei \ln y para cada ponto (usei ln natural). Peguei os y da tabela do enunciado e calculei \ln(y):
\begin{array}{cccc} x & y & \ln y & x\cdot \ln y\\[4pt]\hline 0 & 5 & \ln 5 \approx 1,609437912 & 0\cdot\ln5 = 0\\[4pt] 1 & 9 & \ln 9 \approx 2,197224577 & 1\cdot\ln9 \approx 2,197224577\\[4pt] 2 & 17 & \ln 17 \approx 2,833213344 & 2\cdot\ln17 \approx 5,666426688\\[4pt] 3 & 33 & \ln 33 \approx 3,496507561 & 3\cdot\ln33 \approx 10,489522683\\[4pt] 4 & 65 & \ln 65 \approx 4,174387270 & 4\cdot\ln65 \approx 16,697549080 \end{array}
Agora calculo as somas necessárias (todas as somas usam os valores acima):
n=5, \qquad \sum x = 0+1+2+3+4 = 10, \qquad \sum x^{2} = 0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2} = 30.
\sum \ln y \approx 1,609437912 + 2,197224577 + 2,833213344 + 3,496507561 + 4,174387270 \approx 14,310770664.
\sum x\ln y \approx 0 + 2,197224577 + 5,666426688 + 10,489522683 + 16,697549080 \approx 35,050723028.]

Passo 4

Calculo do coeficiente angular B=\ln b usando a fórmula dos mínimos quadrados (substituindo as somas):
B=\frac{n\sum x\ln y - \sum x\sum \ln y}{n\sum x^{2} - (\sum x)^{2}}.
Substituindo os números:
B=\frac{5\cdot 35,050723028 - 10\cdot 14,310770664}{5\cdot 30 - 10^{2}} = \frac{175,25361514 - 143,10770664}{150 - 100} = \frac{32,14590850}{50} \approx 0,642918170.
Portanto \ln b \approx 0,642918170, logo
b = e^{B} \approx e^{0,642918170} \approx 1,902.

Passo 5

Calculo do intercepto A=\ln a:
A=\frac{\sum \ln y - B\sum x}{n} = \frac{14,310770664 - 0,642918170\cdot 10}{5} = \frac{14,310770664 - 6,429181700}{5} = \frac{7,881588964}{5} \approx 1,576317793.
Assim \ln a \approx 1,576317793 e
a = e^{A} \approx e^{1,576317793} \approx 4,835.

Passo 6

Escrevendo o modelo ajustado (resultado do ajuste exponencial):
\boxed{\,y \approx 4,835\cdot 1,902^{x}\,}
Esse é o modelo que obtivemos aplicando mínimos quadrados à transformação logarítmica.

Passo 7

Estimativa para x=6 (aplicando o modelo):
Usamos y(6)=a\cdot b^{6}. Para evitar erros de arredondamento por potências, também podemos usar a forma logarítmica:
\ln y(6) = A + B\cdot 6 \approx 1,576317793 + 0,642918170\cdot 6 \approx 1,576317793 + 3,857509020 = 5,433826813.
Logo
y(6) = e^{5,433826813} \approx 229 \quad(\text{aproximadamente}).
Se calcular diretamente 4,835\cdot 1,902^{6} chega-se ao mesmo valor (aprox. 229). Arredondei para o inteiro mais próximo porque estamos contando computadores.

Resposta

y \approx 4,835\cdot 1,902^{x}
Após 6 horas: aproximadamente 229 computadores infectados.

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