( 1,5 ponto) Um analista está estudando a propagação de um ma/ware (virus) em uma rede corporativa Ele observou o número de computadores (PCs) infectados ao longo do tempo conforme a tabela. Acredita-se que o crescimento da infecção siga um modelo exponencial do tipo:
. Responda as seguintes perguntas dele:
a. Ajuste os dados tabelados usando o método dos minimos quadrados.
b. Estime o número de computadores infectados após 6 horas.
Tempo (horas)
PCs infectados
0
5
1
9
2
17
3
33
4
65
a. Ajuste os dados tabelados usando o método dos minimos quadrados.
b. Estime o número de computadores infectados após 6 horas.
| Tempo (horas) | PCs infectados |
| 0 | 5 |
| 1 | 9 |
| 2 | 17 |
| 3 | 33 |
| 4 | 65 |
Passo 1
O enunciado dá a seguinte tabela (os dados abaixo eu peguei diretamente da tabela do enunciado):
O que o exercício pede:
- Ajustar os dados a um modelo exponencial do tipo
usando o método dos mínimos quadrados. - Estimar o número de computadores infectados após 6 horas.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática e passo a passo):
Um modelo exponencial pode ser linearizado aplicando logaritmo natural em ambos os lados. Isso transforma o problema num ajuste linear, que é fácil de resolver com mínimos quadrados. Vamos ensinar isso devagarinho:
Um modelo exponencial
- Tomando ln em
obtemos
- Se definirmos as variáveis transformadas
então o modelo vira uma reta
- Ajustar uma reta
pelos mínimos quadrados significa escolher e que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos. As fórmulas de regressão linear (aplicáveis aqui) são:
onde
é o número de pontos. Depois recuperamos
Vou aplicar isso aos dados transformados passo a passo.
Passo 3
Transformando os dados: calculei
para cada ponto (usei ln natural). Peguei os
da tabela do enunciado e calculei
:
Agora calculo as somas necessárias (todas as somas usam os valores acima):
Passo 4
Calculo do coeficiente angular
usando a fórmula dos mínimos quadrados (substituindo as somas):
Substituindo os números:
Portanto
, logo
Passo 5
Calculo do intercepto
:
Assim
e
Passo 6
Escrevendo o modelo ajustado (resultado do ajuste exponencial):
Esse é o modelo que obtivemos aplicando mínimos quadrados à transformação logarítmica.
Passo 7
Estimativa para
(aplicando o modelo):
Usamos . Para evitar erros de arredondamento por potências, também podemos usar a forma logarítmica:
Usamos
Logo
Se calcular diretamente
chega-se ao mesmo valor (aprox.
). Arredondei para o inteiro mais próximo porque estamos contando computadores.
Resposta
Após 6 horas: aproximadamente