Dado o sistema lx+2 y-2 z+2 w-t=0 x+2 y-z++3 w-2 t=0 2 x+4 y-7 z+w+t=0 determine seu conjunto solução.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear homogêneo em cinco incógnitas com três equações:
O conteúdo aqui é resolução de sistema por eliminação de Gauss e descrição do espaço solução em forma paramétrica.

Passo 2

Subtraindo a primeira equação da segunda, temos
(x + 2y - z + 3w - 2t) - (x + 2y - 2z + 2w - t)=0 Longrightarrow z + w - t = 0

Passo 3

Subtraindo 2 vezes a primeira equação da terceira,
(2x+4y-7z+w+t) - 2(x+2y-2z+2w - t)=0 Longrightarrow -3(z + w - t)=0,
que é a mesma relação z+w-t=0. Concluímos que só existem duas equações independentes (posto =2) em cinco variáveis, logo três graus de liberdade na solução.

Passo 4

Escolhemos três variáveis livres e nomeamos:
y = lambda, w = mu, t = nu
Da relação z + w - t=0 vem
z = nu - mu
Finalmente, usamos a primeira equação para achar x:
x = -2y +2z -2w + t = -2lambda +2(nu - mu) -2mu + nu = -2lambda -4mu +3nu

Passo 5

Reescrevendo tudo em forma vetorial, a solução geral é
(x,y,z,w,t) = lambda,(-2,1,0,0,0) + mu,(-4,0,-1,1,0) + nu,(3,0,1,0,1),
com lambda,mu,nuinR.

Resposta

l(x,y,z,w,t)inR^5 mid (x,y,z,w,t) = lambda,(-2,1,0,0,0) + mu,(-4,0,-1,1,0) + nu,(3,0,1,0,1),; lambda,mu,nuinR r

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