Dado o sistema de equações diferenciais, linear e não-homogêneo,
Encontre a solução geral desse sistema não-homogêneo usando o método da variação dos parâmetros.
Passo 1
O sistema é linear não-homogêneo em duas variáveis, dado por
A matéria aqui é sistemas lineares de EDOs e o método da variação de parâmetros via matriz fundamental.
Passo 2
Escrevendo em forma matricial temos
onde
Passo 3
Para o sistema homogêneo
, encontramos a matriz fundamental escolhendo duas soluções independentes. Uma base de soluções é
Logo,
Passo 4
Para variação de parâmetros usamos
Como
calculamos
Passo 5
Integramos cada componente de
:
ignorando constantes para a parte particular.
Passo 6
Agora a parte particular é
Fazendo as multiplicações e usando identidades trigonométricas chega-se a
Passo 7
A solução geral é a soma da homogênea com a particular. A homogênea tem constantes
. Portanto,