Dado o sistema de equações diferenciais, linear e não-homogêneo,
ccc x1^prime & = & 2 x2+1 x2^prime & = & -2 x1+sen(t)
Encontre a solução geral desse sistema não-homogêneo usando o método da variação dos parâmetros.

Passo 1

O sistema é linear não-homogêneo em duas variáveis, dado por
x1'=2x2+1, x2'=-2x1+sin(t)
A matéria aqui é sistemas lineares de EDOs e o método da variação de parâmetros via matriz fundamental.

Passo 2

Escrevendo em forma matricial temos
X'=AX+f(t),
onde
A=0&2-2&0, X=x1x2, f(t)=1sin t

Passo 3

Para o sistema homogêneo X'=AX, encontramos a matriz fundamental escolhendo duas soluções independentes. Uma base de soluções é
phi1(t)=cos2t-sin2t, phi2(t)=sin2tcos2t
Logo,
Phi(t)=cos2t&sin2t-sin2t&cos2t

Passo 4

Para variação de parâmetros usamos
Xp(t)=Phi(t)integralPhi^-1(t)f(t),dt
Como Phi^-1(t)=Phi(-t)=cos2t&-sin2tsin2t&cos2t, calculamos
u'(t)=Phi^-1(t)f(t)=cos2t&-sin2tsin2t&cos2t1sin t= cos2t-sin2t,sin tsin2t+cos2t,sin t

Passo 5

Integramos cada componente de nu'(t)=(u1',u2')^T:
u(t)=u1(t)u2(t)= tfrac12sin2t-tfrac12sin t+tfrac16sin3t-tfrac12cos2t+tfrac12cos t-tfrac16cos3t,
ignorando constantes para a parte particular.

Passo 6

Agora a parte particular é
Xp(t)=Phi(t)nu(t)
Fazendo as multiplicações e usando identidades trigonométricas chega-se a
x1p(t)=tfrac23sin t, x2p(t)=-tfrac12+tfrac13cos t

Passo 7

A solução geral é a soma da homogênea com a particular. A homogênea tem constantes C1,C2. Portanto,

Resposta

x1(t)=C1cos2t+C2sin2t+tfrac23sin t, x2(t)=-C1sin2t+C2cos2t-tfrac12+tfrac13cos t

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