- Seja
, onde
. Determine os valores de
com os quais vale
Passo 1
O enunciado pede pra achar os valores de k tais que a função w=
seja harmônica, ou seja, sua soma das derivadas segundas (o laplaciano) seja zero. O conteúdo principal é o operador laplaciano aplicado a funções radiais.
Passo 2
Definimos
, então
. Para funções radiais, usamos a fórmula do laplaciano em
:
Passo 3
Calculamos as derivadas de
. Temos
Passo 4
Substituímos na fórmula do laplaciano:
Isso simplifica para
Passo 5
Para que
em todo ponto (com
), o coeficiente deve ser zero. Logo
Resposta
As soluções são
ou
.