1. Seja w=(x1^2+x2^2+cdots+xn^2)^k, onde n >= 2. Determine os valores de k com os quais vale
partial^2 wpartial x1^2+partial^2 wpartial x2^2+cdots+partial^2 wpartial xn^2=0

Passo 1

O enunciado pede pra achar os valores de k tais que a função w= (x1^2++xn^2)^k seja harmônica, ou seja, sua soma das derivadas segundas (o laplaciano) seja zero. O conteúdo principal é o operador laplaciano aplicado a funções radiais.

Passo 2

Definimos r=raizx1^2++xn^2, então w(r)=r^2k. Para funções radiais, usamos a fórmula do laplaciano em R^n:
De

Passo 3

Calculamos as derivadas de w(r)=r^2k. Temos
w'(r)=2k,r^2k-1,
w''(r)=2k(2k-1),r^2k-2

Passo 4

Substituímos na fórmula do laplaciano:
De
Isso simplifica para
De

Passo 5

Para que De em todo ponto (com r>0), o coeficiente deve ser zero. Logo
2k(2k + n -2)=0 implies k=0 ou 2k + n -2=0 implies k=2-n2

Resposta

As soluções são k=0 ou k=2-n2.

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