1. Texto Compare o uso da fórmula
d yd x=-partial f / partial xpartial f / partial y
com o processo da derivação implícita.

Passo 1

O enunciado pede para comparar duas formas de obter dy/dx quando temos uma relação implícita f(x,y)=0: usar diretamente a fórmula dy/dx = -partial f/partial xpartial f/partial y ou aplicar passo a passo a derivação implícita.

Passo 2

Na derivação implícita tradicional, partimos de f(x,y)=0 e diferenciamos ambos os lados em relação a x, lembrando que y depende de x. Assim, usamos a regra da cadeia:
ddxf(x,y(x)) = partial fpartial x cdot 1 + partial fpartial y cdot dydx = 0
Isolando dy/dx vem
dydx = -partial f/partial xpartial f/partial y

Passo 3

Na abordagem que usa diretamente a fórmula, a gente já parte de conhecer f(x,y) e suas derivadas parciais partial f/partial x e partial f/partial y. Basta calcular essas derivadas e substituir em
dydx = -partial f/partial xpartial f/partial y
Funciona como um atalho que já incorpora a aplicação da regra da cadeia.

Passo 4

Em termos de comparação:
  • Os dois métodos geram exatamente a mesma expressão para dy/dx.
  • A derivação implícita passo a passo é mais didática, pois mostra de onde vem cada termo e reforça a regra da cadeia.
  • A fórmula -fx/fy é um jeito mais rápido e direto de obter dy/dx quando você já domina o cálculo de derivadas parciais e quer economizar tempo.

Passo 5

Em resumo, não há diferença de resultado, apenas de procedimento: o processo clássico evidencia cada etapa da regra da cadeia, enquanto a fórmula é o resultado compilado dessa derivação, servindo como atalho quando você já sabe o que está fazendo.

Resposta

As duas abordagens levam à mesma fórmula dy/dx = -dfracpartial f/partial xpartial f/partial y. A derivação implícita mostra passo a passo a regra da cadeia, e a fórmula é um atalho direto para quem já domina derivadas parciais.

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