Dado o sistema de equaçõe lineares:
4 X_{1}-X_{2}+X_{3} = 0
-X_{1}+4.25 X_{2}+2.75 X_{3} = 1
X_{1}+2.75 X_{2}+3.5 X_{3} = -1
O que podemos afirmar sobre a convergência do método ?

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com a matriz dos coeficientes e pede uma afirmação sobre a convergência “do método” (interpreto que se quer saber sobre convergência dos métodos iterativos clássicos — Jacobi e Gauss–Seidel — pois esse é um tipo de questão muito comum). Vou listar claramente os dados que temos:
  • A matriz dos coeficientes A é
A = \begin{pmatrix} 4 & -1 & 1\\[4pt] -1 & 4{,}25 & 2{,}75\\[4pt] 1 & 2{,}75 & 3{,}5 \end{pmatrix}.
  • O vetor do termo independente não é necessário para testar convergência dos métodos iterativos; só a matriz A importa.
  • A pergunta é sobre convergência do(s) método(s) iterativos (vou tratar Jacobi e Gauss–Seidel).]

Passo 2

Primeiro passo teórico: critérios simples que eu posso usar (explicando de forma direta):
  • Critério de dominância diagonal por linhas: se cada linha satisfaz \lvert a_{ii}\rvert > \sum_{j\ne i}\lvert a_{ij}\rvert (dominância diagonal estrita), então tanto o método de Jacobi quanto o de Gauss–Seidel convergem para qualquer chute inicial. Aqui \;a_{ii} é o elemento da diagonal e \;a_{ij} os outros elementos da linha i.
  • Outra condição que garante convergência do Gauss–Seidel (sempre): se A for simétrica e definida positiva (SPD), então Gauss–Seidel converge para qualquer chute inicial. Para Jacobi, SPD sozinho não é um critério geral simples que sempre garanta convergência, mas podemos verificar diretamente o raio espectral da matriz de iteração da Jacobi: se \rho(B_J)<1 então Jacobi converge.
    Vou aplicar esses testes ao nosso A.

Passo 3

Teste de dominância diagonal por linhas (vou calcular os valores linha a linha; todas as contas escritas para você poder reproduzir):
  • Linha 1: \lvert a_{11}\rvert = 4. Soma dos outros módulos: \lvert -1\rvert + \lvert 1\rvert = 1 + 1 = 2. Logo 4 > 2 — a linha 1 é estritamente diagonalmente dominante.
  • Linha 2: \lvert a_{22}\rvert = 4{,}25. Soma dos outros módulos: \lvert -1\rvert + \lvert 2{,}75\rvert = 1 + 2{,}75 = 3{,}75. Logo 4{,}25 > 3{,}75 — a linha 2 é estritamente diagonalmente dominante.
  • Linha 3: \lvert a_{33}\rvert = 3{,}5. Soma dos outros módulos: \lvert 1\rvert + \lvert 2{,}75\rvert = 1 + 2{,}75 = 3{,}75. Aqui 3{,}5 < 3{,}75 — a linha 3 NÃO é estritamente diagonalmente dominante.
Conclusão intermédia: a matriz não é estritamente diagonalmente dominante por linhas (pois a linha 3 viola). Portanto não posso concluir, por esse critério simples, que Jacobi e Gauss–Seidel convergem. Preciso de outro teste.

Passo 4

Vou verificar se A é simétrica e positiva definida — isso vai me dar uma conclusão segura para Gauss–Seidel e fornecer forte indicação sobre o problema.
  1. Simetria: comparar a_{ij} e a_{ji}.
  • a_{12}=-1 e a_{21}=-1.
  • a_{13}=1 e a_{31}=1.
  • a_{23}=2{,}75 e a_{32}=2{,}75.
    Logo A é simétrica.
  1. Positividade definida: uma maneira prática para matrizes simétricas 3\times3 é checar os menores principais principais (leading principal minors). Se todos forem positivos, a matriz é definida positiva.
  • Primeiro menor principal (det do 1\times1 no canto superior): \det([4]) = 4 > 0.
  • Segundo menor principal (det do bloco 2\times2 superior esquerdo):
\det\begin{pmatrix}4 & -1\\\\ -1 & 4{,}25\end{pmatrix} = 4\cdot 4{,}25 - (-1)(-1) = 17 - 1 = 16 > 0.
  • Terceiro menor (determinante de A): calculo detalhado
\det(A) = 4\cdot\det\begin{pmatrix}4{,}25 & 2{,}75\\[2pt]2{,}75 & 3{,}5\end{pmatrix} -(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 2{,}75\\[2pt]1 & 3{,}5\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 4{,}25\\[2pt]1 & 2{,}75\end{pmatrix}.
Calculemos cada menor:
\det\begin{pmatrix}4{,}25 & 2{,}75\\[2pt]2{,}75 & 3{,}5\end{pmatrix} =4{,}25\cdot 3{,}5 - 2{,}75^2 = 14{,}875 - 7{,}5625 = 7{,}3125.
\det\begin{pmatrix}-1 & 2{,}75\\[2pt]1 & 3{,}5\end{pmatrix} =(-1)\cdot 3{,}5 - 2{,}75\cdot 1 = -3{,}5 - 2{,}75 = -6{,}25.
\det\begin{pmatrix}-1 & 4{,}25\\[2pt]1 & 2{,}75\end{pmatrix} =(-1)\cdot 2{,}75 - 4{,}25\cdot 1 = -2{,}75 - 4{,}25 = -7.
Agora juntar:
\det(A) = 4\cdot 7{,}3125 -(-1)\cdot(-6{,}25) + 1\cdot(-7) =29{,}25 -6{,}25 -7 = 16 > 0.
Todos os menores principais são positivos, logo A é definida positiva.]

Passo 5

Interpretação teórica do que isso dá para convergência:
  • Teorema: se A é simétrica definida positiva, então o método de Gauss–Seidel converge para a solução única do sistema para qualquer chute inicial. Assim, para nosso sistema, Gauss–Seidel converge.
  • Sobre Jacobi: a PD (positiva definida) por si só não é o critério padrão mais simples para afirmar convergência do Jacobi; porém, posso verificar diretamente o raio espectral da matriz de iteração da Jacobi. Se \rho(B_J)<1, Jacobi converge.

Passo 6

Construção da matriz de iteração de Jacobi e explicação (passo a passo e didático):
  • Para o método de Jacobi escrevemos A = D + (L+U), onde D é a diagonal e L,U são estritamente triangular inferior e superior.
  • A iteração de Jacobi tem a forma
x^{(k+1)} = D^{-1}\bigl(b - (L+U)x^{(k)}\bigr) = -D^{-1}(L+U)\,x^{(k)} + D^{-1}b,
logo a matriz de iteração é
B_J = -D^{-1}(L+U) = I - D^{-1}A.
  • Para nosso A, D=\operatorname{diag}(4,\,4{,}25,\,3{,}5). Os elementos de B_J são então b_{ij} = -a_{ij}/a_{ii} para i\ne j e b_{ii}=0.
Vou calcular cada elemento de B_J (mostrando frações exatas para manter precisão):
B_J = \begin{pmatrix} 0 & \dfrac{1}{4} & -\dfrac{1}{4}\\[8pt] \dfrac{4}{17} & 0 & -\dfrac{11}{17}\\[8pt] -\dfrac{2}{7} & -\dfrac{11}{14} & 0 \end{pmatrix}.
(Explicando rápido: 4{,}25=17/4 e 2{,}75=11/4, 3{,}5=7/2; daí as frações mostradas.)]

Passo 7

Agora o critério efetivo: Jacobi converge se e somente se \rho(B_J)<1, onde \rho(\cdot) é o raio espectral (máximo valor absoluto dos autovalores). Vou calcular (de forma detalhada mas direta) o polinômio característico de B_J e estimar os autovalores.
Escrevendo o polinômio característico \det(B_J-\lambda I)=0 e desenvolvendo (detalhes algébricos mostrados para que consiga repetir na prova), obtém-se, após simplificação, o polinômio cúbico
\lambda^3 - \frac{76}{119}\,\lambda - \frac{11}{119} = 0.
Multiplicando por 119 dá a forma inteira
119\,\lambda^3 - 76\,\lambda - 11 = 0.
Esse é um cúbico com coeficientes reais; agora encontramos raízes numéricas com aproximação (método de tentativa/interpolação ou calculadora). A solução numérica das raízes dá aproximadamente
\lambda_1 \approx 0{,}863,\qquad \lambda_2 \approx -0{,}716,\qquad \lambda_3 \approx -0{,}147.
Portanto o raio espectral é
\rho(B_J)=\max\{|\lambda_i|\}\approx 0{,}863 < 1.
(Se quiser repetir: o polinômio e os cálculos foram obtidos expandindo o determinante de (B_J-\lambda I) linha por linha; eu mantive frações exatas até simplificar para o cúbico mostrado.)

Passo 8

Conclusões finais e interpretação prática:
  • Como \rho(B_J)\approx 0{,}863<1, o método de Jacobi também converge para a solução para qualquer chute inicial.
  • Como A é simétrica definida positiva, o método de Gauss–Seidel converge (e normalmente converge mais rápido que Jacobi no caso SPD).
  • Observação prática: mesmo que uma linha não seja estritamente diagonalmente dominante (a terceira linha), a matriz ainda pode ser SPD e levar à convergência de ambos os métodos; por isso, falha de dominância diagonal não implica divergência automática.

Resposta

Método de Gauss–Seidel: converge (a matriz A é simétrica e definida positiva).
Método de Jacobi: converge também; o raio espectral da matriz de iteração de Jacobi é \rho(B_J)\approx 0{,}863<1.

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