O que podemos afirmar sobre a convergência do método ?
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear com a matriz dos coeficientes e pede uma afirmação sobre a convergência “do método” (interpreto que se quer saber sobre convergência dos métodos iterativos clássicos — Jacobi e Gauss–Seidel — pois esse é um tipo de questão muito comum). Vou listar claramente os dados que temos:
O vetor do termo independente não é necessário para testar convergência dos métodos iterativos; só a matriz A importa.
A pergunta é sobre convergência do(s) método(s) iterativos (vou tratar Jacobi e Gauss–Seidel).]
Passo 2
Primeiro passo teórico: critérios simples que eu posso usar (explicando de forma direta):
Critério de dominância diagonal por linhas: se cada linha satisfaz \lvert a_{ii}\rvert > \sum_{j\ne i}\lvert a_{ij}\rvert (dominância diagonal estrita), então tanto o método de Jacobi quanto o de Gauss–Seidel convergem para qualquer chute inicial. Aqui \;a_{ii} é o elemento da diagonal e \;a_{ij} os outros elementos da linha i.
Outra condição que garante convergência do Gauss–Seidel (sempre): se A for simétrica e definida positiva (SPD), então Gauss–Seidel converge para qualquer chute inicial. Para Jacobi, SPD sozinho não é um critério geral simples que sempre garanta convergência, mas podemos verificar diretamente o raio espectral da matriz de iteração da Jacobi: se \rho(B_J)<1 então Jacobi converge.
Vou aplicar esses testes ao nosso A.
Passo 3
Teste de dominância diagonal por linhas (vou calcular os valores linha a linha; todas as contas escritas para você poder reproduzir):
Linha 1: \lvert a_{11}\rvert = 4. Soma dos outros módulos: \lvert -1\rvert + \lvert 1\rvert = 1 + 1 = 2. Logo 4 > 2 — a linha 1 é estritamente diagonalmente dominante.
Linha 2: \lvert a_{22}\rvert = 4{,}25. Soma dos outros módulos: \lvert -1\rvert + \lvert 2{,}75\rvert = 1 + 2{,}75 = 3{,}75. Logo 4{,}25 > 3{,}75 — a linha 2 é estritamente diagonalmente dominante.
Linha 3: \lvert a_{33}\rvert = 3{,}5. Soma dos outros módulos: \lvert 1\rvert + \lvert 2{,}75\rvert = 1 + 2{,}75 = 3{,}75. Aqui 3{,}5 < 3{,}75 — a linha 3 NÃO é estritamente diagonalmente dominante.
Conclusão intermédia: a matriz não é estritamente diagonalmente dominante por linhas (pois a linha 3 viola). Portanto não posso concluir, por esse critério simples, que Jacobi e Gauss–Seidel convergem. Preciso de outro teste.
Passo 4
Vou verificar se A é simétrica e positiva definida — isso vai me dar uma conclusão segura para Gauss–Seidel e fornecer forte indicação sobre o problema.
Simetria: comparar a_{ij} e a_{ji}.
a_{12}=-1 e a_{21}=-1.
a_{13}=1 e a_{31}=1.
a_{23}=2{,}75 e a_{32}=2{,}75.
Logo A é simétrica.
Positividade definida: uma maneira prática para matrizes simétricas 3\times3 é checar os menores principais principais (leading principal minors). Se todos forem positivos, a matriz é definida positiva.
Primeiro menor principal (det do 1\times1 no canto superior): \det([4]) = 4 > 0.
Segundo menor principal (det do bloco 2\times2 superior esquerdo):
Todos os menores principais são positivos, logo A é definida positiva.]
Passo 5
Interpretação teórica do que isso dá para convergência:
Teorema: se A é simétrica definida positiva, então o método de Gauss–Seidel converge para a solução única do sistema para qualquer chute inicial. Assim, para nosso sistema, Gauss–Seidel converge.
Sobre Jacobi: a PD (positiva definida) por si só não é o critério padrão mais simples para afirmar convergência do Jacobi; porém, posso verificar diretamente o raio espectral da matriz de iteração da Jacobi. Se \rho(B_J)<1, Jacobi converge.
Passo 6
Construção da matriz de iteração de Jacobi e explicação (passo a passo e didático):
Para o método de Jacobi escrevemos A = D + (L+U), onde D é a diagonal e L,U são estritamente triangular inferior e superior.
(Explicando rápido: 4{,}25=17/4 e 2{,}75=11/4, 3{,}5=7/2; daí as frações mostradas.)]
Passo 7
Agora o critério efetivo: Jacobi converge se e somente se \rho(B_J)<1, onde \rho(\cdot) é o raio espectral (máximo valor absoluto dos autovalores). Vou calcular (de forma detalhada mas direta) o polinômio característico de B_J e estimar os autovalores.
Escrevendo o polinômio característico \det(B_J-\lambda I)=0 e desenvolvendo (detalhes algébricos mostrados para que consiga repetir na prova), obtém-se, após simplificação, o polinômio cúbico
Esse é um cúbico com coeficientes reais; agora encontramos raízes numéricas com aproximação (método de tentativa/interpolação ou calculadora). A solução numérica das raízes dá aproximadamente
(Se quiser repetir: o polinômio e os cálculos foram obtidos expandindo o determinante de (B_J-\lambda I) linha por linha; eu mantive frações exatas até simplificar para o cúbico mostrado.)
Passo 8
Conclusões finais e interpretação prática:
Como \rho(B_J)\approx 0{,}863<1, o método de Jacobi também converge para a solução para qualquer chute inicial.
Como A é simétrica definida positiva, o método de Gauss–Seidel converge (e normalmente converge mais rápido que Jacobi no caso SPD).
Observação prática: mesmo que uma linha não seja estritamente diagonalmente dominante (a terceira linha), a matriz ainda pode ser SPD e levar à convergência de ambos os métodos; por isso, falha de dominância diagonal não implica divergência automática.
Resposta
Método de Gauss–Seidel: converge (a matriz A é simétrica e definida positiva).
Método de Jacobi: converge também; o raio espectral da matriz de iteração de Jacobi é \rho(B_J)\approx 0{,}863<1.