1. Dado o sistema de equações lineares
\{2 x+3 y-4 z=3 x-y+5 z=6 x+2 y+3 z=7
O valor de x+y+z é igual a
a) 8 .
b) 16 .
c) 4 .
d) 12 .
e) 14 .

Passo 1

O enunciado dá um sistema de três equações lineares e pede o valor de x+y+z\). As informações dadas são (peguei os números do enunciado): \[\begin{cases} 2x+3y-4z=3,\\[4pt] x-y+5z=6,\\[4pt] x+2y+3z=7. \end{cases}
A pergunta é: qual é o valor de x+y+z\]? (Opções: a) \(8. b) 16. c) 4. d) 12. e) 14.)]

Passo 2

Observe os coeficientes das incógnitas nas três equações. Vou somá-los coluna a coluna:
  • Coeficientes de x: 2 + 1 + 1 = 4.
  • Coeficientes de y: 3 + (-1) + 2 = 4.
  • Coeficientes de z: -4 + 5 + 3 = 4.
Note que a soma dos coeficientes de cada incógnita é a mesma: 4.

Passo 3

Se somarmos as três equações membro a membro, obtemos uma nova equação (somando também os termos constantes do lado direito):
(2x+3y-4z) + (x-y+5z) + (x+2y+3z) = 3 + 6 + 7.

Passo 4

Fazendo as somas dos termos semelhantes no lado esquerdo e somando o lado direito:
4x+4y+4z = 16.

Passo 5

Fatorando 4 no lado esquerdo:
4(x+y+z)=16.
Agora dividimos ambos os lados por 4 para isolar x+y+z:
x+y+z= \frac{16}{4}=4.

Passo 6

Explicação didática curta sobre por que isso funciona: somar equações é uma operação válida porque cada equação é verdadeira; somando-as obtém-se outra equação verdadeira. Quando a soma dos coeficientes de x\), de \(y\) e de \(z\) é igual (aqui todos valem \(4\)), o lado esquerdo fica exatamente \(4(x+y+z)\), o que permite achar \(x+y+z\) sem resolver o sistema inteiro. Exemplo simples: se tivéssemos \[\begin{cases} x+y=3,\\\\ 2x+2y=6, \end{cases}
somando as equações obtemos 3x+3y=9\], ou \(3(x+y)=9, logo x+y=3 (a mesma informação já disponível, mostrando que somar às vezes simplifica a obtenção de combinações como x+y).

Resposta

c) 4

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