1. Observe o sistema linear de incógnitas a, b e c.
\{8 a+2 b+12 c=106 a+3 b+9 c=22 a+b+3 c=1
Dessa forma, pode-se afirmar que esse sistema:
a) possui uma única solução.
b) possui uma infinidade de soluções.
c) não possui solução.
d) possui exatamente duas soluções.
e) possui exatamente três soluções.

Passo 1

O enunciado fornece um sistema linear com incógnitas a, b e c (observei as três equações no enunciado) e pede para identificar qual alternativa está correta entre:
(a) possui uma única solução;
(b) possui uma infinidade de soluções;
(c) não possui solução;
(d) possui exatamente duas soluções;
(e) possui exatamente três soluções.
As informações do sistema, reescritas separadamente, são as três equações:
8a+2b+12c=10
6a+3b+9c=22
a+b+3c=1

Passo 2

Vou explicar o método que vou usar: eliminação por combinação linear (método de Gauss). A ideia é usar operações lineares entre equações — somar, subtrair ou multiplicar por constantes — para eliminar variáveis passo a passo e obter equações mais simples. Regras permitidas: multiplicar uma equação por número não nulo, somar/subtrair equações. Se conseguirmos determinar valores únicos para a, b e c, então o sistema tem solução única. Se, ao eliminar, aparecer uma contradição (p.ex. 0=5), o sistema é incompatível (sem solução). Se aparecer uma equação redundante (p.ex. 0=0) e menos equações independentes que incógnitas, haverá infinidade de soluções. Vou aplicar esses princípios passo a passo.

Passo 3

Começo observando a terceira equação, que é curta e pode ajudar a eliminar termos em outras equações. A terceira equação é
a+b+3c=1.
Multiplico essa equação por 3 para obter uma equação com 3b e 9c, que combinam bem com a segunda equação:
3\cdot(a+b+3c)=3\cdot 1 \quad\Longrightarrow\quad 3a+3b+9c=3.

Passo 4

Agora uso a segunda equação
6a+3b+9c=22
e subtraio dela a equação resultante do passo anterior 3a+3b+9c=3. Esse tipo de operação elimina b e c porque ambos têm os mesmos coeficientes nas duas equações. Fazendo a subtração:
(6a+3b+9c)-(3a+3b+9c)=22-3.
No lado esquerdo os termos 3b e 9c cancelam, sobrando
3a=19.
Logo
a=\frac{19}{3}.

Passo 5

Com a=\dfrac{19}{3} uso a terceira equação para escrever b em função de c. A terceira equação era
a+b+3c=1.
Isolando b:
b=1-a-3c.
Substituindo a=\dfrac{19}{3},
b=1-\frac{19}{3}-3c.
Transformo 1 em terços para combinar:
1=\frac{3}{3},
então
b=\frac{3}{3}-\frac{19}{3}-3c=\frac{3-19}{3}-3c=\frac{-16}{3}-3c.

Passo 6

Agora substituo a=\dfrac{19}{3} e b=\dfrac{-16}{3}-3c na primeira equação para determinar c. A primeira equação é
8a+2b+12c=10.
Substituindo:
8\cdot\frac{19}{3}+2\left(\frac{-16}{3}-3c\right)+12c=10.
Faço as operações com calma. Primeiro 8\cdot\dfrac{19}{3}=\dfrac{152}{3}. Em seguida 2\cdot\dfrac{-16}{3}=\dfrac{-32}{3} e 2\cdot(-3c)=-6c. Assim a soma do lado esquerdo é
\frac{152}{3}+\frac{-32}{3}+(-6c)+12c.
Combino as frações e os termos em c:
\frac{152-32}{3}+( -6c+12c)=\frac{120}{3}+6c=40+6c.
Portanto a equação fica
40+6c=10.
Isolando c:
6c=10-40=-30\quad\Rightarrow\quad c=-5.

Passo 7

Com c=-5 volto à expressão de b que tínhamos em função de c:
b=\frac{-16}{3}-3c.
Substituo c=-5:
b=\frac{-16}{3}-3\cdot(-5)=\frac{-16}{3}+15.
Escrevo 15 em terços: 15=\dfrac{45}{3}. Então
b=\frac{-16}{3}+\frac{45}{3}=\frac{29}{3}.

Passo 8

Resumo dos valores encontrados:
a=\frac{19}{3},\qquad b=\frac{29}{3},\qquad c=-5.
Obtivemos um único triplo \bigl(a,b,c\bigr) que satisfaz as três equações. Isso significa que o sistema é compatível determinado (tem exatamente uma solução). Em termos conceituais: as três equações são independentes o suficiente para fixar um único ponto (a,b,c) no espaço; não apareceu contradição nem liberdade extra para parâmetros, portanto a solução é única.

Resposta

(a)

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