- Observe o sistema linear de incógnitas
,
e
.
Dessa forma, pode-se afirmar que esse sistema:
a) possui uma única solução.
b) possui uma infinidade de soluções.
c) não possui solução.
d) possui exatamente duas soluções.
e) possui exatamente três soluções.
a) possui uma única solução.
b) possui uma infinidade de soluções.
c) não possui solução.
d) possui exatamente duas soluções.
e) possui exatamente três soluções.
Passo 1
O enunciado fornece um sistema linear com incógnitas
,
e
(observei as três equações no enunciado) e pede para identificar qual alternativa está correta entre:
(a) possui uma única solução;
(b) possui uma infinidade de soluções;
(c) não possui solução;
(d) possui exatamente duas soluções;
(e) possui exatamente três soluções.
(a) possui uma única solução;
(b) possui uma infinidade de soluções;
(c) não possui solução;
(d) possui exatamente duas soluções;
(e) possui exatamente três soluções.
As informações do sistema, reescritas separadamente, são as três equações:
Passo 2
Vou explicar o método que vou usar: eliminação por combinação linear (método de Gauss). A ideia é usar operações lineares entre equações — somar, subtrair ou multiplicar por constantes — para eliminar variáveis passo a passo e obter equações mais simples. Regras permitidas: multiplicar uma equação por número não nulo, somar/subtrair equações. Se conseguirmos determinar valores únicos para
,
e
, então o sistema tem solução única. Se, ao eliminar, aparecer uma contradição (p.ex.
), o sistema é incompatível (sem solução). Se aparecer uma equação redundante (p.ex.
) e menos equações independentes que incógnitas, haverá infinidade de soluções. Vou aplicar esses princípios passo a passo.
Passo 3
Começo observando a terceira equação, que é curta e pode ajudar a eliminar termos em outras equações. A terceira equação é
Multiplico essa equação por
para obter uma equação com
e
, que combinam bem com a segunda equação:
Passo 4
Agora uso a segunda equação
e subtraio dela a equação resultante do passo anterior
. Esse tipo de operação elimina
e
porque ambos têm os mesmos coeficientes nas duas equações. Fazendo a subtração:
No lado esquerdo os termos
e
cancelam, sobrando
Logo
Passo 5
Com
uso a terceira equação para escrever
em função de
. A terceira equação era
Isolando
:
Substituindo
,
Transformo
em terços para combinar:
então
Passo 6
Agora substituo
e
na primeira equação para determinar
. A primeira equação é
Substituindo:
Faço as operações com calma. Primeiro
. Em seguida
e
. Assim a soma do lado esquerdo é
Combino as frações e os termos em
:
Portanto a equação fica
Isolando
:
Passo 7
Com
volto à expressão de
que tínhamos em função de
:
Substituo
:
Escrevo
em terços:
. Então
Passo 8
Resumo dos valores encontrados:
Obtivemos um único triplo
que satisfaz as três equações. Isso significa que o sistema é compatível determinado (tem exatamente uma solução). Em termos conceituais: as três equações são independentes o suficiente para fixar um único ponto
no espaço; não apareceu contradição nem liberdade extra para parâmetros, portanto a solução é única.
Resposta
(a)