Dado o sistema:
l 2 x+y-z=3 x+2 y+z=2 3 x-y+2 z=5
(a) Escreva o sistema na forma matricial A X=B
(b) Resolva utilizando o método de Cramer

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
2x + y - z = 3, x + 2y + z = 2, 3x - y + 2z = 5
e pede duas coisas:
(a) escrever na forma matricial A X = B;
(b) resolver usando o método de Cramer, ou seja, calcular determinantes para achar x,y,z.

Passo 2

Para pôr na forma identificamos matriz dos coeficientes , vetor de incógnitas e vetor dos termos independentes :
Logo a forma matricial é

Passo 3

Pelo método de Cramer precisamos de det(A). Calculamos por expansão na primeira linha:
det(A) = 2,(2cdot2 - 1cdot(-1)) -1,(1cdot2 - 1cdot3) +(-1),(1cdot(-1) - 2cdot3) = 2cdot5 -1cdot(-1) -1cdot(-7) = 10 +1 +7 =18
Como det(A)neq0, o sistema tem solução única.

Passo 4

Montamos Ax trocando a 1ª coluna de A por B:
Ax = 3 & 1 & -1 2 & 2 & 1 5 & -1 & 2
Seu determinante é
det(Ax) = 3,(2cdot2 - 1cdot(-1)) -1,(2cdot2 - 1cdot5) +(-1),(2cdot(-1) - 2cdot5) = 3cdot5 -1cdot(-1) -1cdot(-12) =15 +1 +12 =28
Logo
x = det(Ax)det(A) = 2818 = 149

Passo 5

Montamos Ay trocando a 2ª coluna de A por B:
Ay = 2 & 3 & -1 1 & 2 & 1 3 & 5 & 2
Calculamos
det(Ay) = 2,(2cdot2 - 1cdot5) -3,(1cdot2 - 1cdot3) +(-1),(1cdot5 - 2cdot3) = 2cdot(-1) -3cdot(-1) -1cdot(-1) = -2 +3 +1 =2
Portanto
y = det(Ay)det(A) = 218 = 19

Passo 6

Montamos Az trocando a 3ª coluna de A por B:
Az = 2 & 1 & 3 1 & 2 & 2 3 & -1 & 5
Seu determinante é
det(Az) = 2,(2cdot5 - 2cdot(-1)) -1,(1cdot5 - 2cdot3) +3,(1cdot(-1) - 2cdot3) = 2cdot12 -1cdot(-1) +3cdot(-7) = 24 +1 -21 =4
Logo
z = det(Az)det(A) = 418 = 29

Resposta

x = tfrac149, y = tfrac19, z = tfrac29

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