Dada a matriz de rotação no plano:
(a) Verifique que
é ortogonal para todo
(b) Mostre que
(b) Mostre que
Passo 1
O enunciado dá a matriz de rotação no plano
e pede dois resultados:
(a) mostrar que ela é ortogonal, isto é, satisfaz ;
(b) obter sua inversa e ver que .
Vamos usar a definição de matriz ortogonal, cálculo de transposta, multiplicação de matrizes e as identidades trigonométricas ,
,
.]
(a) mostrar que ela é ortogonal, isto é, satisfaz
(b) obter sua inversa e ver que
Vamos usar a definição de matriz ortogonal, cálculo de transposta, multiplicação de matrizes e as identidades trigonométricas
Passo 2
Para (a) calculamos primeiro a transposta de
. Trocando linhas por colunas,
Em seguida fazemos o produto
Calculando cada entrada e usando
, obtemos
Logo
é ortogonal para todo
.]
Passo 3
Para (b) lembramos que, para matriz ortogonal
, vale
. Assim
Usando
e
, reconhecemos essa matriz como
Portanto
.]
Resposta
(a)
é ortogonal porque
.
(b) .
(b)