Dada a matriz de rotação no plano:
Rtheta=[cc cos theta & -sin theta sin theta & cos theta ]
(a) Verifique que Rtheta é ortogonal para todo theta in R
(b) Mostre que Rtheta^-1=R-theta

Passo 1

O enunciado dá a matriz de rotação no plano
Rtheta = cos theta & -sin theta [6pt] sin theta & cos theta
e pede dois resultados:
(a) mostrar que ela é ortogonal, isto é, satisfaz Rtheta^T Rtheta=I;
(b) obter sua inversa e ver que Rtheta^-1=R-theta.
Vamos usar a definição de matriz ortogonal, cálculo de transposta, multiplicação de matrizes e as identidades trigonométricas cos^2theta+sin^2theta=1, cos(-theta)=costheta, sin(-theta)=-sintheta.]

Passo 2

Para (a) calculamos primeiro a transposta de Rtheta. Trocando linhas por colunas,
Rtheta^T = cos theta & sin theta [6pt] -sin theta & cos theta
Em seguida fazemos o produto
Rtheta^T Rtheta = cos theta & sin theta [3pt] -sin theta & cos theta cos theta & -sin theta [3pt] sin theta & cos theta
Calculando cada entrada e usando cos^2theta+sin^2theta=1, obtemos
Rtheta^T Rtheta = 1 & 0 [3pt] 0 & 1
Logo Rtheta é ortogonal para todo theta.]

Passo 3

Para (b) lembramos que, para matriz ortogonal A, vale A^-1=A^T. Assim
Rtheta^-1=Rtheta^T = cos theta & sin theta [6pt] -sin theta & cos theta
Usando cos(-theta)=costheta e sin(-theta)=-sintheta, reconhecemos essa matriz como
R-theta = cos(-theta) & -sin(-theta) [6pt] sin(-theta) & cos(-theta)
Portanto Rtheta^-1=R-theta.]

Resposta

(a) Rtheta é ortogonal porque Rtheta^T Rtheta=I.
(b) Rtheta^-1=Rtheta^T=R-theta.

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