Dado o sistema l5^x-y=1125 3^x+y=243 , calcule o valor de (x y)^3.

Passo 1

Temos o sistema de equações exponenciais 5^x-y=1125 e 3^x+y=243. Vamos usar propriedades de potências (se a^u=a^v com a>0 e aneq1, então u=v) e depois resolver um sistema linear para encontrar x e y.

Passo 2

Na primeira equação, note que 1125=5^-3. Como a base é a mesma, igualamos expoentes: x - y = -3

Passo 3

Na segunda equação, observamos que 243=3^5. Aplicando a mesma lógica de igualar expoentes, obtemos: x + y = 5

Passo 4

Agora temos o sistema linear
x - y = -3 x + y = 5
Somando as duas equações, vem 2x = 2, logo x = 1. Substituindo em x + y = 5, encontramos y = 4.

Passo 5

Finalmente, calculamos o produto xy = 1 cdot 4 = 4 e elevamos ao cubo: (xy)^3 = 4^3 = 64

Resposta

64

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