Dado o sistema linear, indique quais triplas ordenadas são soluções:
\begin{cases}x+y-z & =0 \\\ x-y+z & =4 \\\\ -x+y+2 z & =-5\end{cases}
b) \left(2,-\frac{7}{3},-\frac{1}{3}\right)

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} x+y-z=0\\[4pt] x-y+z=4\\[4pt] -x+y+2z=-5 \end{cases}
e pede para indicar se a tripla dada é solução. A tripla fornecida (caso b) é \left(2,-\tfrac{7}{3},-\tfrac{1}{3}\right).
Informações relevantes: cada coordenada da tripla corresponde a x, y e z respectivamente. A tarefa é verificar se, ao substituir essas coordenadas nas três equações, as igualdades ficam verdadeiras. O que significa ser solução? Uma tripla (x,y,z) é solução do sistema se, ao substituir x, y e z nas três equações, as igualdades são satisfeitas em todas elas. O método é simples: substituir e calcular. Vou mostrar com atenção como somar e subtrair frações para não deixar confusão.]

Passo 2

Verificação da primeira equação \;x+y-z=0.
Substituindo x=2, y=-\tfrac{7}{3}, z=-\tfrac{1}{3}:
2 + \left(-\tfrac{7}{3}\right) - \left(-\tfrac{1}{3}\right).
Para somar/subtrair, passo 2 para fração com denominador 3: 2=\tfrac{6}{3}. Então
\tfrac{6}{3}-\tfrac{7}{3}+\tfrac{1}{3}=\tfrac{6-7+1}{3}=\tfrac{0}{3}=0.
Resultado: a primeira equação é satisfeita (o lado esquerdo dá 0, igual ao lado direito).

Passo 3

Verificação da segunda equação \;x-y+z=4.
Substituindo:
2 - \left(-\tfrac{7}{3}\right) + \left(-\tfrac{1}{3}\right).
Novamente 2=\tfrac{6}{3}, então
\tfrac{6}{3}+\tfrac{7}{3}-\tfrac{1}{3}=\tfrac{6+7-1}{3}=\tfrac{12}{3}=4.
Resultado: o lado esquerdo é 4, que coincide com o lado direito; a segunda equação também é satisfeita.

Passo 4

Verificação da terceira equação \;-x+y+2z=-5.
Substituindo:
-2 + \left(-\tfrac{7}{3}\right) + 2\cdot\left(-\tfrac{1}{3}\right).
Transformando -2 = -\tfrac{6}{3} e calculando 2\cdot\left(-\tfrac{1}{3}\right)=-\tfrac{2}{3}, temos
-\tfrac{6}{3}-\tfrac{7}{3}-\tfrac{2}{3}=-\tfrac{6+7+2}{3}=-\tfrac{15}{3}=-5.
Resultado: o lado esquerdo é -5, igual ao lado direito; a terceira equação também é satisfeita.

Passo 5

Conclusão: a tripla foi testada nas três equações e em todas elas as igualdades se confirmaram. Portanto a tripla é solução do sistema.

Resposta

b) \left(2,-\tfrac{7}{3},-\tfrac{1}{3}\right) é solução do sistema.

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