Em uma prova com 20 testes, cada resposta correta vale 5 pontos e cada resposta errada acarreta uma perda de 2 pontos.
(c) É possível que se termine a prova com 17 pontos?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • 20 questões na prova.
  • Cada resposta correta vale +5 pontos.
  • Cada resposta errada acarreta uma perda de -2 pontos.
    A pergunta é: é possível terminar a prova com 17 pontos?

Passo 2

Vamos traduzir a situação para variáveis para poder raciocinar de forma precisa.
  • Seja k o número de respostas corretas.
    Observação: k é um número inteiro e satisfaz 0 \le k \le 20.
  • Como há 20 questões e assumimos que cada questão foi ou acertada ou errada, o número de respostas erradas é 20-k.
    (Se o enunciado permitisse questões em branco, isso mudaria o modelo; aqui seguimos a interpretação usual: cada questão é respondida.)

Passo 3

Agora montamos a fórmula da pontuação total S em função de k.
  • Cada correta contribui com +5 pontos, então o total vindo das corretas é 5k.
  • Cada errada contribui com -2 pontos, e há 20-k erradas, então o total vindo das erradas é -2(20-k).
    Portanto
S = 5k - 2(20-k).

Passo 4

Vamos simplificar a expressão da pontuação:
S = 5k - 2(20-k) = 5k - 40 + 2k = 7k - 40.
Interpretação: a pontuação possível é sempre da forma 7k-40 para algum inteiro k entre 0 e 20.

Passo 5

Para saber se 17 pontos é possível, igualamos a expressão a 17 e verificamos se existe k inteiro que satisfaz:
7k - 40 = 17.
Somando 40 em ambos os lados:
7k = 57.
Logo
k = \frac{57}{7} \approx 8{,}142857\ldots
Como k precisa ser um número inteiro (número de questões corretas), esse valor não é admissível. Portanto não existe k\in\{0,1,\dots,20\} que gere S=17.

Passo 6

Um argumento alternativo (mais conceitual) usando restos: da fórmula S=7k-40 obtemos que todo S possível satisfaz
S \equiv -40 \pmod{7}.
Como -40 \equiv 2 \pmod{7}, todos os scores possíveis são congruentes a 2 módulo 7. Mas 17 \equiv 3 \pmod{7}, logo 17 não pode ocorrer. Isso é uma maneira rápida de ver a impossibilidade sem resolver a equação.

Passo 7

Para ganhar intuição: calcule os scores próximos para valores inteiros de k:
  • k=8 S=7\cdot8-40=16.
  • k=9 S=7\cdot9-40=23.
    Entre 16 e 23 não há 17, porque os scores avançam de 7 em 7. Isso confirma concretamente que 17 não aparece na lista de pontuações possíveis.

Resposta

Não, não é possível terminar a prova com 17 pontos.

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