Em uma prova com 20 testes, cada resposta correta vale 5 pontos e cada resposta errada acarreta uma perda de 2 pontos.
(c) É possível que se termine a prova com 17 pontos?
(c) É possível que se termine a prova com 17 pontos?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Há
questões na prova. - Cada resposta correta vale
pontos. - Cada resposta errada acarreta uma perda de
pontos.
A pergunta é: é possível terminar a prova compontos?
Passo 2
Vamos traduzir a situação para variáveis para poder raciocinar de forma precisa.
- Seja
o número de respostas corretas.
Observação:é um número inteiro e satisfaz . - Como há
questões e assumimos que cada questão foi ou acertada ou errada, o número de respostas erradas é .
(Se o enunciado permitisse questões em branco, isso mudaria o modelo; aqui seguimos a interpretação usual: cada questão é respondida.)
Passo 3
Agora montamos a fórmula da pontuação total
em função de
.
- Cada correta contribui com
pontos, então o total vindo das corretas é . - Cada errada contribui com
pontos, e há erradas, então o total vindo das erradas é .
Portanto
Passo 4
Vamos simplificar a expressão da pontuação:
Interpretação: a pontuação possível é sempre da forma
para algum inteiro
entre
e
.
Passo 5
Para saber se
pontos é possível, igualamos a expressão a
e verificamos se existe
inteiro que satisfaz:
Somando
em ambos os lados:
Logo
Como
precisa ser um número inteiro (número de questões corretas), esse valor não é admissível. Portanto não existe
que gere
.
Passo 6
Um argumento alternativo (mais conceitual) usando restos: da fórmula
obtemos que todo
possível satisfaz
Como
, todos os scores possíveis são congruentes a
módulo
. Mas
, logo
não pode ocorrer. Isso é uma maneira rápida de ver a impossibilidade sem resolver a equação.
Passo 7
Para ganhar intuição: calcule os scores próximos para valores inteiros de
:
-
dá . -
dá .
Entree não há , porque os scores avançam de em . Isso confirma concretamente que não aparece na lista de pontuações possíveis.
Resposta
Não, não é possível terminar a prova com
pontos.