Q1: Considere A uma matriz cujas colunas são formadas pelos vetores \vec{a}_{1}, \vec{a}_{2}, \vec{a}_{3} \in \mathbb{R}^{3}. Seja B uma matriz cujas colunas \vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \vec{b}_{3} satisfazem: \vec{b}_{1}=5 \vec{a}_{1}+2 \vec{a}_{2}+6 \vec{a}_{3}, \vec{b}_{2}=6 \vec{a}_{1}+7 \vec{a}_{2}+5 \vec{a}_{3} e \vec{b}_{3}=5 \vec{a}_{1}+7 \vec{a}_{2}+4 \vec{a}_{3}.
Sabendo que \operatorname{det}(A)=-3, assinale o valor \operatorname{do} \operatorname{det}(B) :
(A) -15
(B) -18
(C) -21
(D) -24
(E) -27
(F) -30
(G) -33
(H) -36
(I) Não sei

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz A\in\mathbb{R}^{3\times3} com \det(A)=-3 e define B\in\mathbb{R}^{3\times3} cujas colunas são combinações lineares das colunas de A. O conteúdo que vamos usar é a propriedade de determinante de produto:
\det(A\,M)=\det(A)\,\det(M),
onde M é a matriz dos coeficientes dessas combinações lineares.

Passo 2

Escrevendo as colunas de B em função das colunas de A, temos
\vec b_1 = 5\vec a_1 + 2\vec a_2 + 6\vec a_3,\quad \vec b_2 = 6\vec a_1 + 7\vec a_2 + 5\vec a_3,\quad \vec b_3 = 5\vec a_1 + 7\vec a_2 + 4\vec a_3.
Isso significa que
B = A\,M,
onde
M = \begin{pmatrix} 5 & 6 & 5\\\\ 2 & 7 & 7\\\\ 6 & 5 & 4 \end{pmatrix}.

Passo 3

Vamos calcular \det(M) por desenvolvimento na primeira linha:
\det(M) =5\det\begin{pmatrix}7 & 7\\\ 5 & 4\end{pmatrix} -6\det\begin{pmatrix}2 & 7\\\ 6 & 4\end{pmatrix} +5\det\begin{pmatrix}2 & 7\\\ 6 & 5\end{pmatrix}.
Agora cada menor:
\det\begin{pmatrix}7 & 7\\\ 5 & 4\end{pmatrix}=7\cdot4-7\cdot5=-7,
\det\begin{pmatrix}2 & 7\\\ 6 & 4\end{pmatrix}=2\cdot4-7\cdot6=8-42=-34,
\det\begin{pmatrix}2 & 7\\\ 6 & 5\end{pmatrix}=2\cdot5-7\cdot6=10-42=-32.
Substituindo:
\det(M)=5(-7)-6(-34)+5(-32)=-35+204-160=9.

Passo 4

Pela propriedade do determinante de produto,
\det(B)=\det(A\,M)=\det(A)\,\det(M)=(-3)\times9=-27.

Resposta

-27 (alternativa E)

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