Dado o sistema linear não-homogêneo:
x^prime(t)=(ll 2 & 5 3 & 4 ) x(t)+binom8 e^7 t8
Encontre a solução particular do sistema linear não-homogêneo utilizando o método de variação de parâmetros (indicando claramente a matriz fundamental).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá um sistema de equações diferenciais lineares não-homogêneo e pede para encontrar uma solução particular usando o método de variação de parâmetros. Isso envolve entender conceitos como sistemas lineares, matrizes fundamentais e o próprio método de variação de parâmetros. Vamos precisar encontrar a matriz fundamental do sistema e aplicar a variação de parâmetros para achar a solução específica que resolve o sistema dado.

Passo 2

Primeiro, vamos focar no sistema homogêneo associado, ou seja, sem o termo não-homogêneo. Nosso sistema homogêneo é:
x'(t) = 2 & 5 3 & 4 x(t)
Para resolver isso, precisamos encontrar a matriz fundamental, que é basicamente um conjunto de soluções lineares independentes que formam a base para todas as soluções do sistema homogêneo. Para encontrar a matriz fundamental, vamos primeiro achar os autovalores e autovetores da matriz dos coeficientes.

Passo 3

Vamos encontrar os autovalores ( det( 2 - lambda & 5 3 & 4 - lambda ) = 0 ) resolvendo o determinante:
(2 - lambda)(4 - lambda) - (5 times 3) = 0 (8 - 2lambda - 4lambda + lambda^2) - 15 = 0 lambda^2 - 6lambda - 7 = 0
Calculando o determinante:
lambda = 6 pm raiz36 + 282 = 6 pm raiz642 = 6 pm 82
Resolvendo a equação quadrática:
lambda1 = 7 e lambda2 = -1
Então, os autovalores são:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para 2 - 7 & 5 3 & 4 - 7 v1 v2 = -5 & 5 3 & -3 v1 v2 = 0 0 :
Resolvemos -5v1 + 5v2 = 0 Rightarrow v1 = v2 :
v1 = 1 1
Isso simplifica para:
2 + 1 & 5 3 & 4 + 1 v1 v2 = 3 & 5 3 & 5 v1 v2 = 0 0
Escolhemos 3v1 + 5v2 = 0 Rightarrow v1 = -53v2 , então v2 = -5 3 . O autovetor é:
Para :
Resolvemos :
Isso simplifica para:
Escolhemos , então . O autovetor é:

Passo 5

Com os autovalores e autovetores, podemos escrever a matriz fundamental Phi(t) = e^lambda1 t v1 & e^lambda2 t v2 = e^7t & e^-t cdot (-5) e^7t & e^-t cdot 3 = e^7t & -5 e^-t e^7t & 3 e^-t :

Passo 6

Agora, vamos usar o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular xp(t) = Phi(t) integral Phi^-1(t) g(t) , dt . A fórmula para a solução particular é:
8 e^7t 8
Onde é o termo não-homogêneo.

Passo 7

Primeiro, precisamos encontrar a & b c & d . A inversa de uma matriz Phi^-1(t) = 1ad - bc d & -b -c & a é:
det(Phi(t)) = e^7t cdot 3 e^-t - (-5 e^-t) cdot e^7t = 3 e^6t + 5 e^6t = 8 e^6t
Calculando o determinante de Phi^-1(t) = 18 e^6t 3 e^-t & 5 e^-t -e^7t & e^7t = 38 e^-7t & 58 e^-7t -18 e^ - (-t) & 18 e^ - (-t) = 38 e^-7t & 58 e^-7t -18 e^-6t & 18 e^-6t :
Então,

Passo 8

Agora, vamos multiplicar Phi^-1(t) g(t) = 38 e^-7t & 58 e^-7t -18 e^-6t & 18 e^-6t 8 e^7t 8 = 38 e^-7t cdot 8 e^7t + 58 e^-7t cdot 8 -18 e^-6t cdot 8 e^7t + 18 e^-6t cdot 8 por = 3 + 5 e^-7t cdot e^0 - e^t + e^-6t = 3 + 5 -e^t + e^-6t = 8 -e^t + e^-6t :
Simplificando:

Passo 9

Agora, integramos cada componente:
integral 8 -e^t + e^-6t dt = 8t + C1 -e^t - 16 e^-6t + C2
Mas como estamos buscando uma solução particular, podemos ignorar as constantes de integração. Então,
xp(t) = Phi(t) 8t -e^t - 16 e^-6t

Passo 10

Multiplicando xp(t) = e^7t & -5 e^-t e^7t & 3 e^-t 8t -e^t - 16 e^-6t pela integral encontrada:
e^7t cdot 8t + (-5 e^-t) cdot ( -e^t - 16 e^-6t ) = 8 t e^7t + 5 ( 1 + 16 e^-7t ) = 8 t e^7t + 5 + 56 e^-7t
Calculando cada componente:
Para a primeira linha:
e^7t cdot 8t + 3 e^-t cdot ( -e^t - 16 e^-6t ) = 8 t e^7t - 3 ( 1 + 16 e^-7t ) = 8 t e^7t - 3 - 12 e^-7t
Para a segunda linha:

Resposta

A solução particular do sistema é:
xp(t) = 8 t e^7t + 5 + dfrac56 e^-7t 8 t e^7t - 3 - dfrac12 e^-7t

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