Dado o sistema linear não-homogêneo:
Encontre a solução particular do sistema linear não-homogêneo utilizando o método de variação de parâmetros (indicando claramente a matriz fundamental).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá um sistema de equações diferenciais lineares não-homogêneo e pede para encontrar uma solução particular usando o método de variação de parâmetros. Isso envolve entender conceitos como sistemas lineares, matrizes fundamentais e o próprio método de variação de parâmetros. Vamos precisar encontrar a matriz fundamental do sistema e aplicar a variação de parâmetros para achar a solução específica que resolve o sistema dado.
Passo 2
Primeiro, vamos focar no sistema homogêneo associado, ou seja, sem o termo não-homogêneo. Nosso sistema homogêneo é:
Para resolver isso, precisamos encontrar a matriz fundamental, que é basicamente um conjunto de soluções lineares independentes que formam a base para todas as soluções do sistema homogêneo. Para encontrar a matriz fundamental, vamos primeiro achar os autovalores e autovetores da matriz dos coeficientes.
Passo 3
Vamos encontrar os autovalores (
) resolvendo o determinante:
Calculando o determinante:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os autovalores são:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para
:
Resolvemos
:
Isso simplifica para:
Escolhemos
, então
. O autovetor é:
Para
:
Resolvemos
:
Isso simplifica para:
Escolhemos
, então
. O autovetor é:
Passo 5
Com os autovalores e autovetores, podemos escrever a matriz fundamental
:
Passo 6
Agora, vamos usar o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular
. A fórmula para a solução particular é:
Onde
é o termo não-homogêneo.
Passo 7
Primeiro, precisamos encontrar
. A inversa de uma matriz
é:
Calculando o determinante de
:
Então,
Passo 8
Agora, vamos multiplicar
por
:
Simplificando:
Passo 9
Agora, integramos cada componente:
Mas como estamos buscando uma solução particular, podemos ignorar as constantes de integração. Então,
Passo 10
Multiplicando
pela integral encontrada:
Calculando cada componente:
Para a primeira linha:
Para a segunda linha:
Resposta
A solução particular do sistema é: