Dado o sistema:
dd t[l x1 x2 x3 ]=[lll 1 & 2 & 3 0 & 4 & 5 0 & 0 & 6 ][l x1 x2 x3 ]
com as condições iniciais x1(0)=2, x2(0)=1, e x3(0)=-1, resolva o sistema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações diferenciais onde a derivada de um vetor x = [x1, x2, x3]^T em relação ao tempo t é igual a uma matriz multiplicada por x. O conteúdo que vamos usar aqui é de sistemas lineares de equações diferenciais, especialmente focando em matrizes triangulares superiores. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares e usar a estrutura triangular da matriz para simplificar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais clara:
ddt x1 x2 x3 = 1 & 2 & 3 0 & 4 & 5 0 & 0 & 6 x1 x2 x3
Isso dá as seguintes equações individuais:
dx1dt = 1 cdot x1 + 2 cdot x2 + 3 cdot x3 dx2dt = 4 cdot x2 + 5 cdot x3 dx3dt = 6 cdot x3

Passo 3

Vamos começar resolvendo a equação mais simples, que é a de x3:
dx3dt = 6x3
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral é:
x3(t) = x3(0) cdot e^6t
Sabemos que x3(0) = -1, então:
x3(t) = -e^6t

Passo 4

Agora, vamos resolver para x2. A equação é:
dx2dt = 4x2 + 5x3(t)
Já sabemos que x3(t) = -e^6t, então substituindo:
dx2dt = 4x2 - 5e^6t
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea. Para resolvê-la, usamos o método do fator integrante. O fator integrante é:
mu(t) = e^integral 4 dt = e^4t
Multiplicamos toda a equação por mu(t):
e^4t dx2dt = 4e^4tx2 - 5e^10t
Isso simplifica para:
ddt( e^4tx2 ) = -5e^10t
Integrando ambos os lados:
e^4tx2 = -510e^10t + C
Simplificando:
x2(t) = -12e^6t + Ce^-4t
Agora, usamos a condição inicial x2(0) = 1:
1 = -12 + C Rightarrow C = 32
Portanto,
x2(t) = -12e^6t + 32e^-4t

Passo 5

Por fim, resolvemos para x1:
dx1dt = x1 + 2x2 + 3x3(t)
Substituindo x2(t) e x3(t):
dx1dt = x1 + 2( -12e^6t + 32e^-4t ) + 3(-e^6t)
Simplificando:
dx1dt = x1 - e^6t + 3e^-4t - 3e^6t = x1 - 4e^6t + 3e^-4t
Essa é novamente uma equação diferencial linear não homogênea. Usamos o método do fator integrante com:
mu(t) = e^integral 1 dt = e^t
Multiplicando toda a equação por mu(t):
e^t dx1dt = e^tx1 - 4e^7t + 3e^-3t
Isso simplifica para:
ddt( e^tx1 ) = -4e^7t + 3e^-3t
Integrando ambos os lados:
e^tx1 = -47e^7t - 33e^-3t + C
Simplificando:
x1(t) = -47e^6t - e^-4t + Ce^-t
Usamos a condição inicial x1(0) = 2:
2 = -47 - 1 + C Rightarrow C = 317
Portanto,
x1(t) = -47e^6t - e^-4t + 317e^-t

Resposta

A solução do sistema dado é:
x1(t) = -dfrac47 e^6t - e^-4t + dfrac317 e^-t x2(t) = -dfrac12 e^6t + dfrac32 e^-4t x3(t) = -e^6t

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