Resolva o problema de valor inicial:
e
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem:
com condições iniciais
e
. Vamos usar sistemas lineares de coeficientes constantes, encontrando autovalores e autovetores para montar a solução.
Passo 2
Reescrevemos o sistema na forma matricial
, onde
Passo 3
Calculamos o polinômio característico de
impondo
, ou seja
Daí obtemos os autovalores
e
.
Passo 4
Para cada autovalor resolvemos
.
Para
:
Podemos escolher o autovetor
.
Para
:
Escolhemos
.
Passo 5
A solução geral do sistema é dada por
Passo 6
Aplicamos as condições iniciais
, o que implica
Isso gera o sistema
e
, cuja solução é
e
.
Passo 7
Substituímos
e
na fórmula geral para chegar às expressões explícitas de
e
.
Resposta
[\
x(t) = \frac{4}{3} e^{-2t} + \frac{2}{3} e^{-5t}, \quad y(t) = \frac{4}{3} e^{-2t} - \frac{4}{3} e^{-5t}.
]
x(t) = \frac{4}{3} e^{-2t} + \frac{2}{3} e^{-5t}, \quad y(t) = \frac{4}{3} e^{-2t} - \frac{4}{3} e^{-5t}.
]