Resolva o problema de valor inicial:
l d xd t=-3 x+y d yd t=2 x-4 y
com x(0)=2 e y(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem:
dxdt = -3x + y, dydt = 2x - 4y
com condições iniciais x(0)=2 e y(0)=0. Vamos usar sistemas lineares de coeficientes constantes, encontrando autovalores e autovetores para montar a solução.

Passo 2

Reescrevemos o sistema na forma matricial X' = A,X, onde
A = -3 & 12 & -4, X = xy

Passo 3

Calculamos o polinômio característico de A impondo det(A - lambda I) = 0, ou seja
det-3-lambda & 12 & -4-lambda = (-3-lambda)(-4-lambda) - 2cdot1 = lambda^2 + 7lambda + 10 = 0
Daí obtemos os autovalores lambda1 = -2 e lambda2 = -5.

Passo 4

Para cada autovalor resolvemos (A - lambda I)v = 0.
Para lambda1 = -2:
A + 2I = -1 & 12 & -2, -x + y = 0 ;Rightarrow; y = x
Podemos escolher o autovetor v1 = (1,1)^T.
Para lambda2 = -5:
A + 5I = 2 & 12 & 1, 2x + y = 0 ;Rightarrow; y = -2x
Escolhemos v2 = (1,-2)^T.

Passo 5

A solução geral do sistema é dada por
X(t) = c1 e^-2t11 + c2 e^-5t1-2

Passo 6

Aplicamos as condições iniciais X(0) = (2,0)^T, o que implica
c111 + c21-2 = 20
Isso gera o sistema c1 + c2 = 2 e c1 - 2c2 = 0, cuja solução é c1 = tfrac43 e c2 = tfrac23.

Passo 7

Substituímos c1 e c2 na fórmula geral para chegar às expressões explícitas de x(t) e y(t).

Resposta

[\
x(t) = \frac{4}{3} e^{-2t} + \frac{2}{3} e^{-5t}, \quad y(t) = \frac{4}{3} e^{-2t} - \frac{4}{3} e^{-5t}.
]

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