Encontre a solução do sistema:
e
.
Passo 1
Vamos resolver um sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem:
Temos o sistema
Temos o sistema
com as condições iniciais
x(0)=2 e
y(0)=3 . Vamos converter esse sistema numa única equação de segunda ordem para
x(t) .
Passo 2
Primeiro diferenciamos a primeira equação para obter
x'' e substituímos
dy/dt usando a segunda equação. Assim:
Mas
y'=2x+3y e da primeira equação
y=5x-x' . Substituindo:
Reescrevendo, obtemos a equação de segunda ordem:
Passo 3
A equação característica associada é
cuja discriminante
De dá raízes complexas
Logo a solução geral para
x(t) é
Passo 4
Agora encontramos
y(t) usando
y=5x-x' . Calculando
temos
Por fim aplicamos as condições iniciais:
Resposta
As soluções são