Encontre a solução do sistema:
l d xd t=5 x-y d yd t=2 x+3 y
com x(0)=2 e y(0)=3.

Passo 1

Vamos resolver um sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem:
Temos o sistema
dxdt=5x-y, dydt=2x+3y,
com as condições iniciais x(0)=2 e y(0)=3. Vamos converter esse sistema numa única equação de segunda ordem para x(t).

Passo 2

Primeiro diferenciamos a primeira equação para obter x'' e substituímos dy/dt usando a segunda equação. Assim:
x''=ddt(5x-y)=5x'-y'
Mas y'=2x+3y e da primeira equação y=5x-x'. Substituindo:
x''=5x'-(2x+3(5x-x'))=5x'-2x-15x+3x'=8x'-17x
Reescrevendo, obtemos a equação de segunda ordem:
x''-8x'+17x=0

Passo 3

A equação característica associada é
r^2-8r+17=0
cuja discriminante De dá raízes complexas
r=8pm iraiz42=4pm i
Logo a solução geral para x(t) é
x(t)=e^4tl(Acos t+Bsin tr)

Passo 4

Agora encontramos y(t) usando y=5x-x'. Calculando
x'(t)=e^4tl((4A+B)cos t+(4B-A)sin tr),
temos
y(t)=5x(t)-x'(t)=e^4tl((A-B)cos t+(A+B)sin tr)
Por fim aplicamos as condições iniciais:
x(0)=A=2,
y(0)=A-B=3 implies B=2-3=-1

Resposta

As soluções são
x(t)=e^4tl(2cos t-sin tr), y(t)=e^4tl(3cos t+sin tr)

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