Exercícios com Transformada de Laplace.
Resolva a equação diferencial de segunda ordem:
y^prime prime(t)-4 y^prime(t)+4 y(t)=0,
com as condições iniciais y(0)=0 e y^prime(0)=1.

Passo 1

O enunciado pede pra resolver a EDO de segunda ordem y'' - 4y' + 4y = 0 com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1 usando Transformada de Laplace. Vamos precisar das propriedades básicas:
Ly'(t) = sY(s) - y(0)
Ly''(t) = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0)

Passo 2

Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados de
y''(t) - 4y'(t) + 4y(t) = 0
temos
Ly'' - 4Ly' + 4Ly = 0

Passo 3

Substituindo as fórmulas e as condições iniciais y(0)=0, y'(0)=1:
l(s^2Y(s) - scdot0 - 1r) - 4l(sY(s) - 0r) + 4Y(s) = 0
Agrupando termos em Y(s):
Y(s)(s^2 - 4s + 4) - 1 = 0 implies Y(s) = 1s^2 - 4s + 4 = 1(s-2)^2

Passo 4

Para obter y(t), fazemos a inversa da Transformada de Laplace. Sabendo que
L^-1l1(s-a)^2r = t e^at,
temos aqui a=2, então
y(t) = t e^2t

Resposta

y(t) = t e^2t

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