Dado os sistemas abaixo, determine a solução dos sistemas utilizando o método de Gauss.
\begin{aligned} & x+y+z=6 \\\ & 2 x-y+z=3 \\\ & x+2 y-z=4 \end{aligned}

Passo 1

Primeiro vamos entender claramente o que o problema pede e o que nos foi dado. O enunciado dá o sistema linear
\begin{aligned} & x+y+z=6\\\ & 2x-y+z=3\\\ & x+2y-z=4 \end{aligned}
Pergunta: determinar a solução (x,y,z) usando o método de Gauss. Informações relevantes: temos três equações lineares com três incógnitas x,y,z. A solução única (se existir) é um triplo de números reais que satisfaz todas as três equações simultaneamente.

Passo 2

Vamos escrever o sistema como matriz aumentada — isso facilita aplicar operações de linha (as chamadas operações elementares de linha) do método de Gauss. A matriz aumentada é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\[4pt] 2 & -1 & 1 & 3\\[4pt] 1 & 2 & -1 & 4 \end{array}\right].
Explicando: cada linha corresponde a uma equação; as três primeiras colunas são os coeficientes de x,y,z e a coluna após a barra é o termo independente.]

Passo 3

Lembrete didático rápido sobre o método de Gauss: a ideia é usar operações de linha (trocar linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo, adicionar a múltiplos de uma linha a outra) para transformar a matriz aumentada numa forma triangular superior (zeros abaixo da diagonal principal). Depois fazemos substituição regressiva (back substitution) para obter as incógnitas. As operações mantêm o sistema equivalente.

Passo 4

Vamos eliminar o coeficiente de x nas linhas 2 e 3 usando a linha 1 (que já tem pivô 1 na coluna de x). Fazemos:
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - R_1.
Calculemos cada linha.
Para R_2:
\begin{aligned} 2 - 2\cdot 1 &= 0,\\\\ -1 - 2\cdot 1 &= -3,\\\\ 1 - 2\cdot 1 &= -1,\\\\ 3 - 2\cdot 6 &= -9. \end{aligned}
Para R_3:
\begin{aligned} 1 - 1 &= 0,\\\\ 2 - 1 &= 1,\\\\ -1 - 1 &= -2,\\\\ 4 - 6 &= -2. \end{aligned}
A matriz fica então
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\[4pt] 0 & -3 & -1 & -9\\[4pt] 0 & 1 & -2 & -2 \end{array}\right].]

Passo 5

Queremos um pivô não nulo na posição da segunda linha, segunda coluna. Temos R_2 com -3 nessa posição e R_3 com 1. Podemos simplificar a eliminação escolhendo uma combinação que zere essa coluna abaixo do pivô atual. Uma operação conveniente e com inteiros é:
R_2 \leftarrow R_2 + 3R_3,
porque isso faz -3 + 3\cdot 1 = 0. Vamos calcular R_2 + 3R_3:
\begin{aligned} 0 + 3\cdot 0 &= 0,\\\\ -3 + 3\cdot 1 &= 0,\\\\ -1 + 3\cdot(-2) &= -1 -6 = -7,\\\\ -9 + 3\cdot(-2) &= -9 -6 = -15. \end{aligned}
Após essa operação a matriz é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\[4pt] 0 & 0 & -7 & -15\\[4pt] 0 & 1 & -2 & -2 \end{array}\right].]

Passo 6

Para ter a forma triangular com pivô na segunda linha, prefiro trocar R_2 e R_3 (troca de linhas é uma operação permitida e mantém o sistema equivalente). Fazendo R_2 \leftrightarrow R_3 obtemos
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\[4pt] 0 & 1 & -2 & -2\\[4pt] 0 & 0 & -7 & -15 \end{array}\right].
Agora temos uma matriz em forma triangular superior: pivôs nas posições (1,1), (2,2) e (3,3).]

Passo 7

Agora aplicamos substituição regressiva (back substitution). Da terceira linha temos a equação
-7z = -15.
Isolando z:
z = \frac{-15}{-7} = \frac{15}{7}.
Expliquei: pegamos a última linha que só envolve z e resolvemos diretamente.

Passo 8

Usamos z na segunda linha. A segunda linha representa
y - 2z = -2.
Substituindo z=\frac{15}{7}:
y = -2 + 2z = -2 + 2\cdot\frac{15}{7} = -2 + \frac{30}{7}.
Colocando em denominar comum:
y = -\frac{14}{7} + \frac{30}{7} = \frac{16}{7}.

Passo 9

Finalmente, usamos y e z na primeira equação. A primeira linha é
x + y + z = 6.
Então
x = 6 - y - z = 6 - \frac{16}{7} - \frac{15}{7}.
Somando as frações:
x = 6 - \frac{31}{7} = \frac{42}{7} - \frac{31}{7} = \frac{11}{7}.

Passo 10

Resumo final dos valores encontrados (checando rapidamente em mente que substituindo de volta nas equações ficam corretos): temos
x=\frac{11}{7},\qquad y=\frac{16}{7},\qquad z=\frac{15}{7}.

Resposta

\displaystyle \left(\frac{11}{7},\frac{16}{7},\frac{15}{7}\right)

Exercícios relacionados