Pergunta: determinar a solução (x,y,z) usando o método de Gauss. Informações relevantes: temos três equações lineares com três incógnitas x,y,z. A solução única (se existir) é um triplo de números reais que satisfaz todas as três equações simultaneamente.
Passo 2
Vamos escrever o sistema como matriz aumentada — isso facilita aplicar operações de linha (as chamadas operações elementares de linha) do método de Gauss. A matriz aumentada é
Explicando: cada linha corresponde a uma equação; as três primeiras colunas são os coeficientes de x,y,z e a coluna após a barra é o termo independente.]
Passo 3
Lembrete didático rápido sobre o método de Gauss: a ideia é usar operações de linha (trocar linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo, adicionar a múltiplos de uma linha a outra) para transformar a matriz aumentada numa forma triangular superior (zeros abaixo da diagonal principal). Depois fazemos substituição regressiva (back substitution) para obter as incógnitas. As operações mantêm o sistema equivalente.
Passo 4
Vamos eliminar o coeficiente de x nas linhas 2 e 3 usando a linha 1 (que já tem pivô 1 na coluna de x). Fazemos:
Queremos um pivô não nulo na posição da segunda linha, segunda coluna. Temos R_2 com -3 nessa posição e R_3 com 1. Podemos simplificar a eliminação escolhendo uma combinação que zere essa coluna abaixo do pivô atual. Uma operação conveniente e com inteiros é:
R_2 \leftarrow R_2 + 3R_3,
porque isso faz -3 + 3\cdot 1 = 0. Vamos calcular R_2 + 3R_3:
Para ter a forma triangular com pivô na segunda linha, prefiro trocar R_2 e R_3 (troca de linhas é uma operação permitida e mantém o sistema equivalente). Fazendo R_2 \leftrightarrow R_3 obtemos