e pede para verificar a convergência dos métodos de Jacobi e de Gauss–Seidel e justificar os resultados.
Informações relevantes do enunciado:
A matriz A e o vetor b estão explicitados acima.
Deve-se decidir se cada método converge (a partir de qualquer aproximação inicial) e justificar.]
Passo 2
Relembrando as fórmulas que vamos precisar (sem pular etapas):
Escreve-se A = D + L + U, ondeD=\text{diag}(a_{11},a_{22},a_{33})é a diagonal de A, L é a parte estritamente triangular inferior (entradas abaixo da diagonal) e U é a parte estritamente triangular superior (entradas acima da diagonal).
A iteração de Jacobi éx^{(k+1)} = D^{-1}\bigl(b-(L+U)x^{(k)}\bigr),cujo matriz de iteração éB_{\text{J}} = -D^{-1}(L+U).
A iteração de Gauss–Seidel éx^{(k+1)} = (D+L)^{-1}\bigl(b - U x^{(k)}\bigr),cujo matriz de iteração éB_{\text{GS}} = -(D+L)^{-1}U.
Critério de convergência (fato usado): um método iterativo linear converge para a solução para qualquer aproximação inicial se, e somente se, o raio espectral da matriz de iteração for menor que 1. O raio espectral de uma matriz B é \rho(B)=\max\{|\lambda|:\lambda\text{ é autovalor de }B\}é.
Vou aplicar estas fórmulas ao caso dado, calcular explicitamente B_{\text{J}} e B_{\text{GS}} e seus autovalores (ou \rho).
Portanto o polinômio característico é -\lambda^3, ou seja
\det(B_{\text{J}}-\lambda I) = -\lambda^3,
logo todos os autovalores de B_{\text{J}} são \lambda=0. Assim
\rho(B_{\text{J}})=0<1.
Comentário adicional (útil para entender o que isto significa na prática): uma matriz com todos autovalores nulos é nilpotente; de fato pode-se verificar que B_{\text{J}}^3=0 (portanto I-B_{\text{J}} é invertível e (I-B_{\text{J}})^{-1} é a soma finita I+B_{\text{J}}+B_{\text{J}}^2). Isso implica que o método de Jacobi neste caso converge em, no máximo, três iterações exatas (a partir de qualquer aproximação inicial) para a solução exata — é uma convergência “em número finito de passos” por causa da nilpotência.]
Como D+L é triangular inferior com 1s na diagonal, é simples encontrar (D+L)^{-1} resolvendo sistemas por substituição direta (ou reconhecendo que a inversa será triangular inferior). Resolvendo (D+L)X = I coluna a coluna obtemos
Observação sobre autovalores: B_{\text{GS}} é triangular superior, logo seus autovalores são exatamente as entradas da diagonal: 0,\;2,\;2. Assim
\rho(B_{\text{GS}})=2>1.
Pelo critério de convergência, isso implica que o método de Gauss–Seidel diverge (a partir de dados gerais/qualquer aproximação inicial as iterações não convergem para a solução).]
Passo 6
Resumo das razões:
Jacobi: \rho(B_{\text{J}})=0<1. Portanto o método de Jacobi converge; aqui, mais ainda, B_{\text{J}} é nilpotente e a convergência é em número finito de iterações (no máximo 3).
Gauss–Seidel: \rho(B_{\text{GS}})=2>1. Portanto o método de Gauss–Seidel diverge; o fator de iteração tem módulo maior que 1, o erro tende a crescer geometricamente.
Comentário motivador: é um exemplo interessante — normalmente se espera que Gauss–Seidel converja tão bem ou melhor que Jacobi, mas não há garantia universal sem condições adicionais (por exemplo diagonal estrita ou simetria definida positiva). Aqui a estrutura da matriz faz com que a iteração GS tenha autovalores maiores que 1, enquanto a matriz de Jacobi é nilpotente, levando à convergência de Jacobi e à divergência de Gauss–Seidel.