Dado os sistemas lineares abaixo, verificar a convergência dos métodos de Jacobi e Gauss-Seidel e justificar os resultados:
\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & -2 \\\ 1 & 1 & 1 \\\ 2 & 2 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \x_{2} \x_{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}-1 \\\ 6 \\\ 9\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear A x = b com
A=\begin{pmatrix}1 & 2 & -2\\[4pt]1 & 1 & 1\\[4pt]2 & 2 & 1\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]6\\[4pt]9\end{pmatrix},
e pede para verificar a convergência dos métodos de Jacobi e de Gauss–Seidel e justificar os resultados.
Informações relevantes do enunciado:
  • A matriz A e o vetor b estão explicitados acima.
  • Deve-se decidir se cada método converge (a partir de qualquer aproximação inicial) e justificar.]

Passo 2

Relembrando as fórmulas que vamos precisar (sem pular etapas):
  • Escreve-se A = D + L + U, onde D=\text{diag}(a_{11},a_{22},a_{33})é a diagonal de A, L é a parte estritamente triangular inferior (entradas abaixo da diagonal) e U é a parte estritamente triangular superior (entradas acima da diagonal).
  • A iteração de Jacobi é x^{(k+1)} = D^{-1}\bigl(b-(L+U)x^{(k)}\bigr),cujo matriz de iteração é B_{\text{J}} = -D^{-1}(L+U).
  • A iteração de Gauss–Seidel é x^{(k+1)} = (D+L)^{-1}\bigl(b - U x^{(k)}\bigr),cujo matriz de iteração é B_{\text{GS}} = -(D+L)^{-1}U.
  • Critério de convergência (fato usado): um método iterativo linear converge para a solução para qualquer aproximação inicial se, e somente se, o raio espectral da matriz de iteração for menor que 1. O raio espectral de uma matriz B é \rho(B)=\max\{|\lambda|:\lambda\text{ é autovalor de }B\}é.
Vou aplicar estas fórmulas ao caso dado, calcular explicitamente B_{\text{J}} e B_{\text{GS}} e seus autovalores (ou \rho).

Passo 3

Construir D, L e U a partir de A.
A diagonal D é
D=\begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]0&1&0\\[4pt]0&0&1\end{pmatrix}.
A parte estritamente inferior L (apenas entradas abaixo da diagonal) é
L=\begin{pmatrix}0&0&0\\[4pt]1&0&0\\[4pt]2&2&0\end{pmatrix},
pois a_{21}=1,\;a_{31}=2,\;a_{32}=2.
A parte estritamente superior U (apenas entradas acima da diagonal) é
U=\begin{pmatrix}0&2&-2\\[4pt]0&0&1\\[4pt]0&0&0\end{pmatrix},
pois a_{12}=2,\;a_{13}=-2,\;a_{23}=1.]

Passo 4

Calcular a matriz de iteração de Jacobi. Como D=I (matriz identidade), tem-se
B_{\text{J}} = -D^{-1}(L+U)=-(L+U)=I-A,
portanto
B_{\text{J}}=I-A= \begin{pmatrix} 0 & -2 & 2\\[4pt] -1 & 0 & -1\\[4pt] -2 & -2 & 0 \end{pmatrix}.
Agora determinamos os autovalores de B_{\text{J}}. Calcular o polinômio característico \det(B_{\text{J}}-\lambda I). Escrevendo
B_{\text{J}}-\lambda I= \begin{pmatrix} -\lambda & -2 & 2\\[4pt] -1 & -\lambda & -1\\[4pt] -2 & -2 & -\lambda \end{pmatrix},
fazendo o desenvolvimento do determinante (expansão pela primeira linha) obtém-se
\det(B_{\text{J}}-\lambda I) = -\lambda(\lambda^2-2) + 2(\lambda-2) + 2(2-2\lambda).
Calculando os termos e somando:
-\lambda(\lambda^2-2) + 2\lambda -4 +4 -4\lambda = -\lambda^3.
Portanto o polinômio característico é -\lambda^3, ou seja
\det(B_{\text{J}}-\lambda I) = -\lambda^3,
logo todos os autovalores de B_{\text{J}} são \lambda=0. Assim
\rho(B_{\text{J}})=0<1.
Comentário adicional (útil para entender o que isto significa na prática): uma matriz com todos autovalores nulos é nilpotente; de fato pode-se verificar que B_{\text{J}}^3=0 (portanto I-B_{\text{J}} é invertível e (I-B_{\text{J}})^{-1} é a soma finita I+B_{\text{J}}+B_{\text{J}}^2). Isso implica que o método de Jacobi neste caso converge em, no máximo, três iterações exatas (a partir de qualquer aproximação inicial) para a solução exata — é uma convergência “em número finito de passos” por causa da nilpotência.]

Passo 5

Calcular a matriz de iteração de Gauss–Seidel:
B_{\text{GS}} = -(D+L)^{-1}U.
Primeiro escrevemos D+L:
D+L=\begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]1&1&0\\[4pt]2&2&1\end{pmatrix}.
Como D+L é triangular inferior com 1s na diagonal, é simples encontrar (D+L)^{-1} resolvendo sistemas por substituição direta (ou reconhecendo que a inversa será triangular inferior). Resolvendo (D+L)X = I coluna a coluna obtemos
(D+L)^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]-1&1&0\\[4pt]0&-2&1\end{pmatrix}.
Agora multiplicamos (D+L)^{-1}U. Usando multiplicação de matrizes:
(D+L)^{-1}U= \begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]-1&1&0\\[4pt]0&-2&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&2&-2\\[4pt]0&0&1\\[4pt]0&0&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -2\\[4pt] 0 & -2 & 3\\[4pt] 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}.
Finalmente
B_{\text{GS}} = - (D+L)^{-1}U = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 2\\[4pt] 0 & 2 & -3\\[4pt] 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
Observação sobre autovalores: B_{\text{GS}} é triangular superior, logo seus autovalores são exatamente as entradas da diagonal: 0,\;2,\;2. Assim
\rho(B_{\text{GS}})=2>1.
Pelo critério de convergência, isso implica que o método de Gauss–Seidel diverge (a partir de dados gerais/qualquer aproximação inicial as iterações não convergem para a solução).]

Passo 6

Resumo das razões:
  • Jacobi: \rho(B_{\text{J}})=0<1. Portanto o método de Jacobi converge; aqui, mais ainda, B_{\text{J}} é nilpotente e a convergência é em número finito de iterações (no máximo 3).
  • Gauss–Seidel: \rho(B_{\text{GS}})=2>1. Portanto o método de Gauss–Seidel diverge; o fator de iteração tem módulo maior que 1, o erro tende a crescer geometricamente.
Comentário motivador: é um exemplo interessante — normalmente se espera que Gauss–Seidel converja tão bem ou melhor que Jacobi, mas não há garantia universal sem condições adicionais (por exemplo diagonal estrita ou simetria definida positiva). Aqui a estrutura da matriz faz com que a iteração GS tenha autovalores maiores que 1, enquanto a matriz de Jacobi é nilpotente, levando à convergência de Jacobi e à divergência de Gauss–Seidel.

Resposta

Jacobi: converge ( \rho(B_{\text{J}})=0).
Gauss–Seidel: diverge ( \rho(B_{\text{GS}})=2).

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