Escreva as expressões para a seqûencia obtida pelo método de Gauss-Seidel para um sistema A x=b, onde A é uma matriz pentadiagonal cujas diagonais são constantes e iguais a -1,1,7,2,-2 (diagonal mais baixa a diagonal mais alta, sendo a diagonal principal igual a 7). Considere que a matriz A é quadrada e de ordem n=20 e que somente as constantes de cada diagonal são armazenadas em um vetor diag =[-1,1,7,2,-2]^{T} com cinco posições. Calcule uma iteração para as três primeiras posições do vetor solução, considerando x^{(0)} igual ao vetor nulo e o vetor das constantes b(i)=i, i=1,2,3, \cdots, 20.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Escrever as expressões das atualizações do método de Gauss–Seidel para o sistema A x = b, onde A é uma matriz pentadiagonal de ordem n=20 com as diagonais constantes dadas pelo vetor \mathrm{diag} = [-1,\,1,\,7,\,2,\,-2]^T. O vetor \mathrm{diag} está organizado da diagonal mais baixa para a mais alta, e a diagonal principal vale 7.
  • Calcular uma iteração (ou seja, obter x^{(1)}) apenas para as três primeiras componentes x_1,x_2,x_3, tomando x^{(0)} igual ao vetor nulo e b(i)=i para i=1,\dots,20.
Informações relevantes dadas:
  • Ordem da matriz: n=20.
  • Vetor das diagonais: \mathrm{diag} = [-1,\,1,\,7,\,2,\,-2]^T. Interpretação (da diagonal mais baixa para a mais alta):
    • \mathrm{diag}_1 = -1 é a diagonal com offset -2: A_{i,i-2}=-1 (quando existe).
    • \mathrm{diag}_2 = 1 é a diagonal com offset -1: A_{i,i-1}=1 (quando existe).
    • \mathrm{diag}_3 = 7 é a diagonal principal: A_{i,i}=7.
    • \mathrm{diag}_4 = 2 é a diagonal com offset +1: A_{i,i+1}=2 (quando existe).
    • \mathrm{diag}_5 = -2 é a diagonal com offset +2: A_{i,i+2}=-2 (quando existe).
  • Condição inicial: x^{(0)} = 0 (vetor nulo).
  • Vetor de termos independentes: b(i)=i, então b_1=1,\; b_2=2,\; b_3=3,\dots.
O que será entregue:
  • Fórmula geral de Gauss–Seidel adaptada à estrutura pentadiagonal com essas constantes.
  • Fórmulas específicas para as primeiras três linhas ( i=1,2,3).
  • Cálculo explícito de x_1^{(1)},\,x_2^{(1)},\,x_3^{(1)} com aritmética passo a passo.

Passo 2

Relembrando (passo-a-passo) o que é a iteração de Gauss–Seidel e a fórmula que vamos usar.
Gauss–Seidel atualiza os componentes de x sequencialmente usando os valores mais recentes já calculados na mesma iteração. A atualização geral para a componente i na iteração k+1 é
x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}}\left(b_i - \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij}\,x_j^{(k+1)} - \sum_{j=i+1}^{n} a_{ij}\,x_j^{(k)}\right).
Explicando cada símbolo:
  • x_i^{(k+1)} é o novo valor que queremos calcular para a componente i.
  • a_{ii} é o elemento da diagonal principal da linha i.
  • b_i é o termo independente da linha i.
  • A soma sobre j=1 até i-1 usa os x_j já atualizados nesta mesma iteração (índices menores que i).
  • A soma sobre j=i+1 até n usa os valores antigos x_j^{(k)} (porque ainda não foram atualizados nesta iteração).
Essa é a regra padrão; agora vamos aplicar à estrutura pentadiagonal com os coeficientes constantes dados.

Passo 3

Mapeamento dos coeficientes da pentadiagonal para a_{ij} (pegando os valores do vetor \mathrm{diag} informado):
A_{i,i-2} = -1,\quad A_{i,i-1}=1,\quad A_{i,i}=7,\quad A_{i,i+1}=2,\quad A_{i,i+2}=-2,
sempre que os índices existirem (ou seja, respeitando as bordas da matriz).
Para uma linha interior onde todos os vizinhos existem (por exemplo 3\le i\le n-2), a fórmula de Gauss–Seidel fica, substituindo os a_{ij}:
x_i^{(k+1)} = \frac{1}{7}\Big(b_i - A_{i,i-2}x_{i-2}^{(k+1)} - A_{i,i-1}x_{i-1}^{(k+1)} - A_{i,i+1}x_{i+1}^{(k)} - A_{i,i+2}x_{i+2}^{(k)}\Big).
Agora substituindo os sinais dos A:
x_i^{(k+1)} = \frac{1}{7}\Big(b_i - (-1)\,x_{i-2}^{(k+1)} - 1\cdot x_{i-1}^{(k+1)} - 2\cdot x_{i+1}^{(k)} - (-2)\,x_{i+2}^{(k)}\Big).
Simplificando os sinais:
x_i^{(k+1)} = \frac{1}{7}\Big(b_i + x_{i-2}^{(k+1)} - x_{i-1}^{(k+1)} - 2\,x_{i+1}^{(k)} + 2\,x_{i+2}^{(k)}\Big).
Essa é a expressão geral para uma linha interior. Note como os termos com índice menor que i vêm com os valores ^{(k+1)} (recentes) e os com índice maior que i com ^{(k)} (antigos).

Passo 4

Agora escrevo explicitamente as expressões para as primeiras três linhas ( i=1,2,3), levando em conta ausências de vizinhos à esquerda:
  • Linha i=1: só existem i,i+1,i+2. Então não há termos i-1 nem i-2. A atualização é
x_1^{(k+1)} = \frac{1}{7}\Big(b_1 - A_{1,2}\,x_2^{(k)} - A_{1,3}\,x_3^{(k)}\Big).
Substituindo A_{1,2}=2 e A_{1,3}=-2:
x_1^{(k+1)} = \frac{1}{7}\Big(b_1 - 2\,x_2^{(k)} - (-2)\,x_3^{(k)}\Big) = \frac{1}{7}\Big(b_1 - 2\,x_2^{(k)} + 2\,x_3^{(k)}\Big).
  • Linha i=2: existem i-1,i,i+1,i+2 (mas não i-2). A atualização é
x_2^{(k+1)} = \frac{1}{7}\Big(b_2 - A_{2,1}\,x_1^{(k+1)} - A_{2,3}\,x_3^{(k)} - A_{2,4}\,x_4^{(k)}\Big).
Substituindo A_{2,1}=1,\;A_{2,3}=2,\;A_{2,4}=-2:
x_2^{(k+1)} = \frac{1}{7}\Big(b_2 - 1\cdot x_1^{(k+1)} - 2\,x_3^{(k)} - (-2)\,x_4^{(k)}\Big) = \frac{1}{7}\Big(b_2 - x_1^{(k+1)} - 2\,x_3^{(k)} + 2\,x_4^{(k)}\Big).
  • Linha i=3: nesta linha todos os cinco coeficientes existem ( i-2=1 presente). A atualização já dada no passo anterior específica é
x_3^{(k+1)} = \frac{1}{7}\Big(b_3 + x_1^{(k+1)} - x_2^{(k+1)} - 2\,x_4^{(k)} + 2\,x_5^{(k)}\Big).
Essas três fórmulas serão usadas para calcular explicitamente x_1^{(1)},x_2^{(1)},x_3^{(1)} a partir de x^{(0)}.

Passo 5

Agora calcule a primeira iteração com x^{(0)}=0 (todos os componentes zero) e b(i)=i.
Dados iniciais numéricos:
b_1=1,\quad b_2=2,\quad b_3=3,\quad x_j^{(0)}=0\\ \text{para todo }j.
Calcule x_1^{(1)} usando a fórmula de i=1:
x_1^{(1)} = \frac{1}{7}\Big(b_1 - 2\,x_2^{(0)} + 2\,x_3^{(0)}\Big) = \frac{1}{7}\Big(1 - 2\cdot 0 + 2\cdot 0\Big) = \frac{1}{7}.
Agora x_2^{(1)} usando a fórmula de i=2. Aqui já usamos x_1^{(1)} (Gauss–Seidel usa o valor mais recente):
x_2^{(1)} = \frac{1}{7}\Big(b_2 - x_1^{(1)} - 2\,x_3^{(0)} + 2\,x_4^{(0)}\Big) = \frac{1}{7}\Big(2 - x_1^{(1)} - 2\cdot 0 + 2\cdot 0\Big) = \frac{1}{7}\Big(2 - x_1^{(1)}\Big).
Substituindo x_1^{(1)}=\dfrac{1}{7}:
2 - \frac{1}{7} = \frac{14}{7} - \frac{1}{7} = \frac{13}{7},
portanto
x_2^{(1)} = \frac{1}{7}\cdot\frac{13}{7} = \frac{13}{49}.
Agora x_3^{(1)} usando a fórmula de i=3. Usamos x_1^{(1)} e x_2^{(1)} (ambos já computados), e x_4^{(0)}=x_5^{(0)}=0:
x_3^{(1)} = \frac{1}{7}\Big(b_3 + x_1^{(1)} - x_2^{(1)} - 2\,x_4^{(0)} + 2\,x_5^{(0)}\Big) = \frac{1}{7}\Big(3 + x_1^{(1)} - x_2^{(1)}\Big).
Substituindo x_1^{(1)}=\dfrac{1}{7} e x_2^{(1)}=\dfrac{13}{49}:
x_1^{(1)} = \frac{1}{7} = \frac{7}{49},\qquad x_1^{(1)} - x_2^{(1)} = \frac{7}{49} - \frac{13}{49} = -\frac{6}{49}.
Logo
3 + x_1^{(1)} - x_2^{(1)} = 3 - \frac{6}{49} = \frac{147}{49} - \frac{6}{49} = \frac{141}{49}.
Portanto
x_3^{(1)} = \frac{1}{7}\cdot\frac{141}{49} = \frac{141}{343}.
Se quiser ver em forma decimal aproximada:
x_1^{(1)} \approx 0{,}142857,\quad x_2^{(1)} \approx 0{,}265306,\quad x_3^{(1)} \approx 0{,}411096.

Resposta

x_1^{(1)} = \dfrac{1}{7}
x_2^{(1)} = \dfrac{13}{49}
x_3^{(1)} = \dfrac{141}{343}

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