Escreva as expressões para a seqûencia obtida pelo método de Gauss-Seidel para um sistema
, onde
é uma matriz pentadiagonal cujas diagonais são constantes e iguais a
(diagonal mais baixa a diagonal mais alta, sendo a diagonal principal igual a 7). Considere que a matriz
é quadrada e de ordem
e que somente as constantes de cada diagonal são armazenadas em um vetor diag
com cinco posições. Calcule uma iteração para as três primeiras posições do vetor solução, considerando
igual ao vetor nulo e o vetor das constantes
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Escrever as expressões das atualizações do método de Gauss–Seidel para o sistema
, onde é uma matriz pentadiagonal de ordem com as diagonais constantes dadas pelo vetor . O vetor está organizado da diagonal mais baixa para a mais alta, e a diagonal principal vale . - Calcular uma iteração (ou seja, obter
) apenas para as três primeiras componentes , tomando igual ao vetor nulo e para .
Informações relevantes dadas:
- Ordem da matriz:
. - Vetor das diagonais:
. Interpretação (da diagonal mais baixa para a mais alta): -
é a diagonal com offset : (quando existe). -
é a diagonal com offset : (quando existe). -
é a diagonal principal: . -
é a diagonal com offset : (quando existe). -
é a diagonal com offset : (quando existe).
-
- Condição inicial:
(vetor nulo). - Vetor de termos independentes:
, então .
O que será entregue:
- Fórmula geral de Gauss–Seidel adaptada à estrutura pentadiagonal com essas constantes.
- Fórmulas específicas para as primeiras três linhas (
). - Cálculo explícito de
com aritmética passo a passo.
Passo 2
Relembrando (passo-a-passo) o que é a iteração de Gauss–Seidel e a fórmula que vamos usar.
Gauss–Seidel atualiza os componentes de
sequencialmente usando os valores mais recentes já calculados na mesma iteração. A atualização geral para a componente
na iteração
é
Explicando cada símbolo:
-
é o novo valor que queremos calcular para a componente . -
é o elemento da diagonal principal da linha . -
é o termo independente da linha . - A soma sobre
até usa os já atualizados nesta mesma iteração (índices menores que ). - A soma sobre
até usa os valores antigos (porque ainda não foram atualizados nesta iteração).
Essa é a regra padrão; agora vamos aplicar à estrutura pentadiagonal com os coeficientes constantes dados.
Passo 3
Mapeamento dos coeficientes da pentadiagonal para
(pegando os valores do vetor
informado):
sempre que os índices existirem (ou seja, respeitando as bordas da matriz).
Para uma linha interior onde todos os vizinhos existem (por exemplo
), a fórmula de Gauss–Seidel fica, substituindo os
:
Agora substituindo os sinais dos
:
Simplificando os sinais:
Essa é a expressão geral para uma linha interior. Note como os termos com índice menor que
vêm com os valores
(recentes) e os com índice maior que
com
(antigos).
Passo 4
Agora escrevo explicitamente as expressões para as primeiras três linhas (
), levando em conta ausências de vizinhos à esquerda:
- Linha
: só existem . Então não há termos nem . A atualização é
Substituindo
e
:
- Linha
: existem (mas não ). A atualização é
Substituindo
:
- Linha
: nesta linha todos os cinco coeficientes existem ( presente). A atualização já dada no passo anterior específica é
Essas três fórmulas serão usadas para calcular explicitamente
a partir de
.
Passo 5
Agora calcule a primeira iteração com
(todos os componentes zero) e
.
Dados iniciais numéricos:
Calcule
usando a fórmula de
:
Agora
usando a fórmula de
. Aqui já usamos
(Gauss–Seidel usa o valor mais recente):
Substituindo
:
portanto
Agora
usando a fórmula de
. Usamos
e
(ambos já computados), e
:
Substituindo
e
:
Logo
Portanto
Se quiser ver em forma decimal aproximada: