Dado um subespaço vetorial V de \mathbb{R}^{n}, como decidir se um conjunto S de vetores em \mathbb{R}^{n} é uma base para V ?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede: \n
Dado um subespaço vetorial V de \mathbb{R}^{n} e um conjunto S de vetores em \mathbb{R}^{n}, a pergunta é: como decidir se S é uma base de V. \n
Informações relevantes fornecidas implicitamente: \n
  1. V é um subespaço de \mathbb{R}^{n} (logo contém o vetor nulo e é fechado por soma e multiplicação por escalares). \n
  2. S é um conjunto finito de vetores em \mathbb{R}^{n} (suponho finito porque, em provas, bases usuais são finitas). \n
    A tarefa é decidir (dar um procedimento e critérios) para afirmar se S é base de V.

Passo 2

Definição fundamental (sem jargão complicado): \n
Uma base de V é um conjunto de vetores que (i) gera V (isto é, todo vetor de V pode ser escrito como combinação linear desses vetores) e (ii) é linearmente independente (nenhum vetor do conjunto é combinação linear dos outros). \n
Expliquei as duas condições: \n
  • O que significa “gerar” (span): dizer que S gera V é o mesmo que \mathrm{span}(S)=V. Por definição, \mathrm{span}(S) é o conjunto de todas as combinações do tipo
a_1 v_1 + a_2 v_2 + \dots + a_k v_k
onde v_1,\dots,v_k são os vetores de S e a_1,\dots,a_k são escalares reais. \n
  • O que significa “linearmente independente”: o conjunto S=\{v_1,\dots,v_k\} é linearmente independente se a única solução do sistema
a_1 v_1 + a_2 v_2 + \dots + a_k v_k = 0
é a_1=a_2=\dots=a_k=0. Se existe uma combinação não trivial que dá zero, então são linearmente dependentes.

Passo 3

Consequência prática com dimensão: \n
Se você souber a dimensão de V, denotada \dim(V), existem critérios alternativos mais fáceis: \n
  • Se S\subseteq V e o número de vetores de S é igual a \dim(V), então basta checar só uma das duas propriedades (independência ou geração): \n
    • Se |S|=\dim(V) e S é linearmente independente, então S gera V, logo S é base. \n
    • Se |S|=\dim(V) e S gera V, então S é linearmente independente, logo S é base. \n
      Isto vem do teorema padrão de dimensão: qualquer conjunto linearmente independente de V tem no máximo \dim(V) vetores, e qualquer conjunto gerador tem no mínimo \dim(V) vetores.

Passo 4

Procedimento prático quando S e V aparecem explicitamente (passo a passo aplicável em prova): \n
  1. Verificar S\subseteq V: para cada s\in S, mostre que s pertence a V. Dependendo de como V é dado, isso muda: \n
    • Se V=\mathrm{span}(T) com T dado, prova que cada s é combinação linear dos vetores de T (resolver um sistema linear para os coeficientes). \n
    • Se V é o espaço nulo de uma matriz M (ou solução de M x=0), verifique que M s = 0 para cada s. \n
  2. Calcule \dim(V) se necessário: \n
    • Se V=\mathrm{span}(T), monte a matriz cujas colunas são os vetores de T e faça eliminação de Gauss para obter o posto (rank); esse posto é \dim(V). \n
    • Se V=\ker(M), use o teorema do posto-nulidade: \dim(\ker(M))=n-\operatorname{rank}(M). \n
  3. Verifique linearidade (independência) e/ou geração de S usando matrizes e eliminação: explique na próxima etapa como.

Passo 5

Como usar matrizes e eliminação de Gauss (ferramenta prática que as provas adoram): \n
  • Para testar linear independência de S=\{v_1,\dots,v_k\}: forme a matriz A cujas colunas são v_1,\dots,v_k. Faça eliminação de Gauss (redução a escada). Se todas as colunas têm pivôs (ou seja, \operatorname{rank}(A)=k), então as colunas são linearmente independentes. Se \operatorname{rank}(A)<k, há dependência linear. \n
  • Para testar se S gera V: se você já tem \dim(V), compare \operatorname{rank}(A) com \dim(V). Se \operatorname{rank}(A)=\dim(V) e além disso S\subseteq V, então S gera V. Mais direto: monte uma matriz cujas colunas sejam os vetores geradores de V e as colunas de S; se o posto não aumenta ao acrescentar colunas de S, então S está no span dos geradores. \n
    Dica prática: em provas, é comum montar uma única matriz com as colunas sendo um conjunto de vetores que inclui tanto os geradores de V quanto os vetores de S, e verificar postos relativos.

Passo 6

Resumo de decisões possíveis (fluxo rápido para prova, sem drama): \n
  1. Primeiro certifique-se S\subseteq V. Se algum vetor de S não está em V, então S não é base. \n
  2. Calcule k=|S| e \dim(V). \n
  3. Se k=\dim(V), então verificar apenas uma das propriedades: \n
    • se \operatorname{rank}(A)=k (onde A tem as colunas de S) então S é base; \n
    • ou se as colunas de S geram V (verificando posto), então S é base. \n
  4. Se k\neq \dim(V), você precisa verificar as duas propriedades diretamente: \n
    • se k<\dim(V) não pode gerar V (logo não é base); \n
    • se k>\dim(V) não pode ser independente (logo não é base); \n
    • portanto só o caso k=\dim(V) pode dar base, na prática.

Passo 7

Caso particular muito comum em exercícios: V=\ker(M) (subespaço solução de M x=0) \n
  • Primeiro calcule \dim(V)=n-\operatorname{rank}(M). \n
  • Verifique que cada s\in S satisfaz M s=0 (isso garante S\subseteq V). \n
  • Verifique que as colunas de S são linearmente independentes (formando matriz A e checando \operatorname{rank}(A)=|S|). \n
  • Se |S|=\dim(V) e os passos anteriores forem verdadeiros, então S é base de V.

Passo 8

Exemplo prático curtinho (para fixar): \n
Se V=\mathrm{span}\{(1,0,0),(0,1,0)\}\subseteq\mathbb{R}^3 e S=\{(1,1,0),(1,0,0)\}, faço assim: \n
  1. S\subseteq V? Sim, porque ambos têm terceira componente zero; posso escrever (1,1,0)=(1,0,0)+(0,1,0) e (1,0,0) óbvio. \n
  2. \dim(V)=2 (os dois vetores geradores são independentes). \n
  3. |S|=2=\dim(V). Então basta verificar independência ou geração. \n
  4. Formo matriz A com colunas de S:
A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Fazendo eliminação, vemos que as duas colunas são independentes (posto 2). \n
5. Como |S|=\dim(V) e S é independente, S é base de V. \n
Esse tipo de cálculo é o que você faz na prova: testar pertença, contar vetores, reduzir matrizes.]

Passo 9

Checklist final enxuto para usar na prova (decore este fluxo, funciona bem sob pressão): \n
  1. Verifique S\subseteq V. Se não, pare: não é base. \n
  2. Calcule k=|S| e \dim(V). \n
  3. Se k\neq\dim(V), então S não é base (porque ou falta vetor para gerar ou tem vetor demais para ser independente). \n
  4. Se k=\dim(V), construa a matriz A com colunas S e reduza: se \operatorname{rank}(A)=k então S é base; caso contrário, não é. \n
    Pronto — é um caminho curto e seguro para decidir em provas.

Resposta

S é base de V se, e somente se, S\subseteq V, S é linearmente independente e \mathrm{span}(S)=V. \n
Equivalente (útil em provas): se \dim(V)=k e |S|=k, então S é base de V exatamente quando as colunas de S têm posto k (ou seja, são linearmente independentes).

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