Sabendo que uma matriz quadrada é diagonalizável, como obter matrizes P, D tais que D é diagonal, P invertível e A=P D P^{-1} ? Neste caso, quanto vale A^{2025} ?

Passo 1

O enunciado diz: temos uma matriz quadrada A que é diagonalizável. Precisamos (1) obter matrizes P e D tais que D seja diagonal, P invertível e A = P D P^{-1}; e (2) calcular A^{2025}.\n
Informações dadas: A é quadrada e diagonalizável (logo existe uma base de autovetores de \mathbb{R}^n ou \mathbb{C}^n formada por n vetores linearmente independentes). Não foram dados elementos numéricos concretos de A.

Passo 2

O que são autovalor e autovetor (a peça-chave aqui). Um vetor não-nulo v é autovetor de A associado ao escalar \lambda (autovalor) quando
A v = \lambda v.
Isto significa que aplicar A em v apenas alonga/encolhe (e eventualmente muda sinal ou fase) o vetor, sem alterar sua direção. Para encontrar os autovalores \lambda resolvemos a equação característica
\det(A - \lambda I)=0,
onde I é a matriz identidade do mesmo tamanho que A. As soluções \lambda são os autovalores.

Passo 3

Como achar os autovetores associados a cada autovalor (passo prático). Para cada autovalor \lambda faça:
  • Forme a matriz A - \lambda I.
  • Encontre o espaço nulo (kernel) resolvendo
(A - \lambda I)v = 0.
As soluções não-nulas v são os autovetores associados a \lambda. Na prática você reduz por eliminação (ou monta o sistema linear) e encontra uma base do espaço nulo; esses vetores formam os autovetores independentes para \lambda.
Explicando variáveis: v é um vetor coluna em \mathbb{R}^n (ou \mathbb{C}^n); \lambda é um número (possivelmente complexo). A dimensão do espaço nulo é a multiplicidade geométrica do autovalor.

Passo 4

Montagem das matrizes P e D. Depois de encontrar n autovetores linearmente independentes v_1,\dots,v_n (a existência deles é garantida pela hipótese “diagonalizável”):
  • Forme P colocando esses autovetores como colunas:
P = \begin{pmatrix} | & & | \\\ v_1 & \cdots & v_n \\\ | & & | \end{pmatrix}.
  • Defina D como a matriz diagonal com as entradas diagonais sendo os autovalores correspondentes, isto é,
D = \operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n).
Aqui a ordem das colunas de P corresponde à ordem das entradas de D: a coluna v_j corresponde ao autovalor \lambda_j.

Passo 5

Verificação de A = P D P^{-1}. Como cada coluna v_j satisfaz A v_j = \lambda_j v_j, ao multiplicar A por P (que tem colunas v_j) obtemos
A P = \big( A v_1 \;|\; A v_2 \;|\; \cdots \;|\; A v_n \big) = \big( \lambda_1 v_1 \;|\; \lambda_2 v_2 \;|\; \cdots \;|\; \lambda_n v_n \big) = P D.
Se as colunas de P são linearmente independentes, P é invertível, então multiplicando à direita por P^{-1}
A = P D P^{-1}.
Isto conclui como obter P e D: escolhemos uma base de autovetores para as colunas de P e colocamos os autovalores na diagonal de D.

Passo 6

Fórmula para potências: ideia central para A^{2025}. A grande vantagem da diagonalização é que potências de A ficam fáceis. Usando A = P D P^{-1} e multiplicando k vezes:
A^2 = (P D P^{-1})(P D P^{-1}) = P D (P^{-1}P) D P^{-1} = P D^2 P^{-1},
e por indução
A^k = P D^k P^{-1}
para todo inteiro k\ge 1. (A base k=1 é trivial e o passo indutivo usa associatividade e P^{-1}P=I.)

Passo 7

Como calcular D^k quando D é diagonal. Se
D = \operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n),
então elevar D à potência k é só elevar cada entrada diagonal à potência k:
D^k = \operatorname{diag}(\lambda_1^k,\lambda_2^k,\dots,\lambda_n^k).
Isso porque elementos fora da diagonal são zero e a multiplicação de matrizes diagonais atua entrada a entrada na diagonal.

Passo 8

Aplicando para k=2025. Juntando Passo 6 e Passo 7 temos a fórmula direta:
A^{2025} = P \,\operatorname{diag}\big(\lambda_1^{2025},\lambda_2^{2025},\dots,\lambda_n^{2025}\big)\, P^{-1},
onde \lambda_j são os autovalores correspondentes às colunas v_j de P.

Passo 9

Um exemplo concreto (pra fixar): seja
A = \begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix}.
Os autovalores são \lambda_1=2 e \lambda_2=3 (estão na diagonal porque a matriz é triangular). Autovetores: para \lambda_1=2 um autovetor é v_1=(1,0)^T; para \lambda_2=3 um autovetor é v_2=(1,1)^T. Então
P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},\qquad D=\operatorname{diag}(2,3).
Logo, para k=2025,
A^{2025} = P \operatorname{diag}(2^{2025},3^{2025}) P^{-1}.
Como P^{-1}=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}, obtém-se explicitamente
A^{2025} = \begin{pmatrix}2^{2025} & 3^{2025}-2^{2025}\\[4pt]0 & 3^{2025}\end{pmatrix}.
Esse cálculo mostra que, na prática, basta encontrar P e os \lambda_j e então elevar as entradas da diagonal.]

Passo 10

Observações finais e dicas para prova.
  • Se a matriz tem autovalores complexos, o procedimento é o mesmo trabalhando em \mathbb{C}^n.
  • Sempre cheque independência linear dos autovetores: se você conseguir n autovetores independentes, a matriz é diagonalizável.
  • Em provas, deixe claro a correspondência coluna v_j \leftrightarrow entrada \lambda_j em D: isso evita confusões.
  • Se for pedir apenas A^{2025}, não é necessário normalizar os autovetores; qualquer base de autovetores funciona.

Resposta

P tem colunas formadas por uma base de autovetores v_1,\dots,v_n e D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n) onde A v_j=\lambda_j v_j; assim A = P D P^{-1}.\n
A^{2025} = P\,\operatorname{diag}\big(\lambda_1^{2025},\dots,\lambda_n^{2025}\big)\,P^{-1}.

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