Mostre que:
Se k_{1}, k_{2} \in \mathbb{R} e \left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} é LI, então \left\{k_{2} v_{2}, v_{1}, v_{3}+k_{1} v_{1}\right\} é LI.

Passo 1

O enunciado quer mostrar que, para k_{1},k_{2}\in\mathbb{R} e um conjunto \{v_{1},v_{2},v_{3}\} linearmente independente, o conjunto
\{\,k_{2}v_{2},\,v_{1},\,v_{3}+k_{1}v_{1}\}
é também linearmente independente. Vamos usar a definição de independência linear: um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial.

Passo 2

Considere uma combinação linear genérica dos vetores do novo conjunto igual a zero, com escalares \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}:
\alpha\,(k_{2}v_{2}) \;+\;\beta\,v_{1}\;+\;\gamma\,(v_{3}+k_{1}v_{1}) \;=\;0.

Passo 3

Expanda a soma e agrupe termos semelhantes em v_{1},v_{2},v_{3}:
\alpha k_{2}\,v_{2} \;+\;\beta\,v_{1}\;+\;\gamma\,v_{3}\;+\;\gamma k_{1}\,v_{1} \;=\; \alpha k_{2}\,v_{2} \;+\;(\beta+\gamma k_{1})\,v_{1}\;+\;\gamma\,v_{3} \;=\;0.

Passo 4

Como \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é LI, as componentes da combinação acima só podem ser todas zero:
\begin{cases} \alpha\,k_{2}=0,\\\ \beta+\gamma\,k_{1}=0,\\\ \gamma=0. \end{cases}

Passo 5

Da terceira equação vem \gamma=0. Substituindo em \beta+\gamma k_{1}=0 obtemos \beta=0. Finalmente, se k_{2}\neq0, da primeira equação segue \alpha=0. Assim
\alpha=\beta=\gamma=0,
isto é, só existe a combinação trivial.

Resposta

O conjunto \{k_{2}v_{2},\,v_{1},\,v_{3}+k_{1}v_{1}\} é linearmente independente (desde que k_{2}\neq0, caso contrário o vetor k_{2}v_{2} seria o vetor zero).

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