Mostre que:
Se k_{1}, k_{2} \in \mathbb{R} e \left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} é LI, então \left\{k_{2} v_{2}, v_{1}, v_{3}+k_{1} v_{1}\right\} é LI.
Passo 1
O enunciado quer mostrar que, para k_{1},k_{2}\in\mathbb{R} e um conjunto \{v_{1},v_{2},v_{3}\} linearmente independente, o conjunto
\{\,k_{2}v_{2},\,v_{1},\,v_{3}+k_{1}v_{1}\}
é também linearmente independente. Vamos usar a definição de independência linear: um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial.
Passo 2
Considere uma combinação linear genérica dos vetores do novo conjunto igual a zero, com escalares \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}:
Da terceira equação vem \gamma=0. Substituindo em \beta+\gamma k_{1}=0 obtemos \beta=0. Finalmente, se k_{2}\neq0, da primeira equação segue \alpha=0. Assim
\alpha=\beta=\gamma=0,
isto é, só existe a combinação trivial.
Resposta
O conjunto \{k_{2}v_{2},\,v_{1},\,v_{3}+k_{1}v_{1}\} é linearmente independente (desde que k_{2}\neq0, caso contrário o vetor k_{2}v_{2} seria o vetor zero).