Se S é um subespaço vetorial de P_{2}=\{ polinômios de grau menor ou igual a 2 \}, gerado pelos vetores t^{2}-t+1, t^{2}-2 t+2 e 2 t^{2}-t+1 :
(a) Escolha, dentre os geradores dados de S, uma base para S.
(b) Pode-se dizer que S=P_{2} ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado diz que S é o subespaço de P_{2} gerado pelos polinômios
p_{1}(t)=t^{2}-t+1,\quad p_{2}(t)=t^{2}-2t+2,\quad p_{3}(t)=2t^{2}-t+1.
O conteúdo aqui é dependência linear em P_{2} e dimensão de subespaços. Para achar uma base de S, vamos escrever cada p_i em coordenadas no sistema \{t^2,t,1\} e verificar quais são linearmente independentes. Depois comparamos \dim S com \dim P_{2}=3 para ver se S=P_{2}.

Passo 2

Escrevendo cada polinômio como vetor em \mathbb R^3\) (coeficientes de \(t^2,t,1\)), temos \[p_{1}\mapsto (1,-1,1),\quad p_{2}\mapsto (1,-2,2),\quad p_{3}\mapsto (2,-1,1).
Procuramos \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha(1,-1,1)+\beta(1,-2,2)+\gamma(2,-1,1)=(0,0,0).
Isso gera o sistema
\begin{cases} \alpha+\beta+2\gamma=0,\\\\ -\alpha-2\beta-\gamma=0,\\\ \alpha+2\beta+\gamma=0. \end{cases}
Das duas últimas equações vemos que -\alpha-2\beta-\gamma=0\] é a mesma que \(\alpha+2\beta+\gamma=0. Logo há duas equações independentes em três incógnitas, sobrando um grau de liberdade. Portanto as três geradoras têm posto 2, isto é, apenas dois são linearmente independentes.

Passo 3

Como p_{1} e p_{2} não são combinação um do outro (checa-se facilmente que \lambda(1,-1,1)=(1,-2,2) não tem solução real para \lambda), eles formam um conjunto independente de tamanho 2. Podemos então escolher
\{\,p_{1},\,p_{2}\}
como base de S.

Passo 4

A base de S tem dois vetores, logo
\dim S = 2.
Mas \dim P_{2}=3. Como \dim S<\dim P_{2}, não é possível ter S=P_{2}.

Resposta

(a) Uma base para S é \{\,t^{2}-t+1,\;t^{2}-2t+2\}.
(b) Não, pois \dim S=2 é menor que \dim P_{2}=3, logo S\neq P_{2}.

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