Se S é um subespaço vetorial de P_{2}=\{ polinômios de grau menor ou igual a 2\}, gerado pelos vetores t^{2}-t+1, t^{2}-2 t+2 e 2 t^{2}-t+1 :
(a) Escolha, dentre os geradores dados de S, uma base para S.
(b) Pode-se dizer que S=P_{2} ? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado diz que S é o subespaço de P_{2} gerado pelos polinômios
O conteúdo aqui é dependência linear em P_{2} e dimensão de subespaços. Para achar uma base de S, vamos escrever cada p_i em coordenadas no sistema \{t^2,t,1\} e verificar quais são linearmente independentes. Depois comparamos \dim S com \dim P_{2}=3 para ver se S=P_{2}.
Passo 2
Escrevendo cada polinômio como vetor em \mathbb R^3\) (coeficientes de \(t^2,t,1\)), temos
\[p_{1}\mapsto (1,-1,1),\quad p_{2}\mapsto (1,-2,2),\quad p_{3}\mapsto (2,-1,1).
Das duas últimas equações vemos que -\alpha-2\beta-\gamma=0\] é a mesma que \(\alpha+2\beta+\gamma=0. Logo há duas equações independentes em três incógnitas, sobrando um grau de liberdade. Portanto as três geradoras têm posto 2, isto é, apenas dois são linearmente independentes.
Passo 3
Como p_{1} e p_{2} não são combinação um do outro (checa-se facilmente que \lambda(1,-1,1)=(1,-2,2) não tem solução real para \lambda), eles formam um conjunto independente de tamanho 2. Podemos então escolher
\{\,p_{1},\,p_{2}\}
como base de S.
Passo 4
A base de S tem dois vetores, logo
\dim S = 2.
Mas \dim P_{2}=3. Como \dim S<\dim P_{2}, não é possível ter S=P_{2}.
Resposta
(a) Uma base para S é \{\,t^{2}-t+1,\;t^{2}-2t+2\}.
(b) Não, pois \dim S=2 é menor que \dim P_{2}=3, logo S\neq P_{2}.