Dado o tetraedro de vértices A(-1,3,2), B(0,1,-1), C(-2,0,1) e D(1,-2,0), calcule a medida da altura relativa à face ABD.

Passo 1

O enunciado dá um tetraedro com vértices A(-1,3,2), B(0,1,-1), C(-2,0,1) e D(1,-2,0) e pede a altura relativa à face ABD. Isso significa encontrar a distância do vértice oposto, que é C, ao plano que contém A, B e D. Para isso vamos:
1. obter dois vetores no plano ABD;
2. calcular o vetor normal por produto vetorial;
3. montar a equação do plano;
4. usar a fórmula da distância ponto-plano.

Passo 2

Escolhemos como vetores do plano:
AB = B - A = (0 - (-1),,1 - 3,,-1 - 2) = (1,,-2,,-3),
AD = D - A = (1 - (-1),,-2 - 3,,0 - 2) = (2,,-5,,-2)

Passo 3

O vetor normal n ao plano ABD é dado pelo produto vetorial:
n = AB times AD = i & j & k 1 & -2 & -3 2 & -5 & -2 = (-11,,-4,,-1)

Passo 4

A equação do plano passando por A com normal n=(n1,n2,n3) é
n1(x - xA) + n2(y - yA) + n3(z - zA) = 0
Substituindo A(-1,3,2) e n=(-11,-4,-1) obtemos
-11(x+1) -4(y-3) -1(z-2) = 0 Longrightarrow 11x + 4y + z - 3 = 0

Passo 5

A distância de C(-2,0,1) ao plano 11x+4y+z-3=0 é
h = l|11(-2) + 4cdot0 + 1cdot1 - 3r|raiz11^2 + 4^2 + 1^2 = |-22 + 1 - 3|raiz138 = 24raiz138 = 4raiz13823

Resposta

A altura relativa à face ABD é
24raiz138 ou 4raiz13823

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