Seja T: P2(R) P2(R) um operador linear tal que (T(p0))(t)=1+t,(T(p1(t))(t)=t+t^2 e(T(p2))(t)= 1+t-t^2,
onde pi(t)=t^i, i=0,1,2.
T é sobrejetora? Justifique a resposta.

Passo 1

O enunciado define o operador linear
Tcolon P2(R)to P2(R)
pelas imagens dos polinômios da base canônica p0(t)=1,p1(t)=t,p2(t)=t^2:
T(1)=1+t, T(t)=t+t^2, T(t^2)=1+t-t^2
Queremos saber se T é sobrejetora. Como dim P2(R)=3, basta mostrar que a matriz de T nessa base é invertível (determinante não nulo).

Passo 2

Escrevemos as coordenadas de cada T(pi) na base 1,t,t^2:
T(1)=1cdot1+1cdot t+0cdot t^2longrightarrow 110,
T(t)=0cdot1+1cdot t+1cdot t^2longrightarrow 011,
T(t^2)=1cdot1+1cdot t+(-1)cdot t^2longrightarrow 11-1
Logo, a matriz de T é
M= 1 & 0 & 1 1 & 1 & 1 0 & 1 & -1 ,
em que as colunas são as coordenadas de T(1),T(t),T(t^2).

Passo 3

Calculamos o determinante de M:
det M =1cdotdet1&11&-1 -0cdotdet1&10&-1 +1cdotdet1&10&1 =-2+1=-1neq0

Passo 4

Como det Mneq0, a matriz de T é invertível, logo T é bijetora. Em particular, T é sobrejetora.

Resposta

Sim, T é sobrejetora.

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