Seja
um operador linear tal que
,
onde
.
T é sobrejetora? Justifique a resposta.
onde
T é sobrejetora? Justifique a resposta.
Passo 1
O enunciado define o operador linear
pelas imagens dos polinômios da base canônica
:
Queremos saber se
é sobrejetora. Como
, basta mostrar que a matriz de
nessa base é invertível (determinante não nulo).
Passo 2
Escrevemos as coordenadas de cada
na base
:
Logo, a matriz de
T é
em que as colunas são as coordenadas de
T(1),T(t),T(t^2) .
Passo 3
Calculamos o determinante de
M :
Passo 4
Como
det Mneq0 , a matriz de
T é invertível, logo
T é bijetora. Em particular,
T é sobrejetora.
Resposta
Sim,
T é sobrejetora.