Dado um triângulo
, sejam
e
as alturas do triângulo,
o raio do círculo circunscrito ao triângulo e
o raio do círculo inscrito ao triângulo. Mostre que
Passo 1
Temos um triângulo
de lados
,
,
e semiperímetro
Denotando por
o raio do circuncírculo e por
o raio do incírculo, queremos mostrar
Para isso usaremos as fórmulas de semienângulo, a fórmula de Heron e a relação
em que
é a área do triângulo.
Passo 2
Pelas fórmulas de semienângulo, temos
Passo 3
Multiplicando essas três expressões,
Passo 4
Pela fórmula de Heron,
logo
Assim
Passo 5
Como
, segue imediatamente