Dado um triângulo A B C, sejam h_{A}, h_{B} e h_{C} as alturas do triângulo, R o raio do círculo circunscrito ao triângulo e r o raio do círculo inscrito ao triângulo. Mostre que
\cos \frac{\widehat{A}}{2} \cdot \cos \frac{\widehat{B}}{2} \cdot \cos \frac{\widehat{C}}{2}=\frac{p}{4 R}

Passo 1

Temos um triângulo ABC de lados a=BC, b=CA, c=AB e semiperímetro
p=\frac{a+b+c}{2}.
Denotando por R o raio do circuncírculo e por r o raio do incírculo, queremos mostrar
\cos\frac{\widehat{A}}{2}\,\cos\frac{\widehat{B}}{2}\,\cos\frac{\widehat{C}}{2} =\frac{p}{4R}.
Para isso usaremos as fórmulas de semienângulo, a fórmula de Heron e a relação
\Delta=\frac{abc}{4R},
em que \Delta é a área do triângulo.

Passo 2

Pelas fórmulas de semienângulo, temos
\cos\frac{\widehat{A}}{2} =\sqrt{\frac{p(p-a)}{b\,c}},\quad \cos\frac{\widehat{B}}{2} =\sqrt{\frac{p(p-b)}{c\,a}},\quad \cos\frac{\widehat{C}}{2} =\sqrt{\frac{p(p-c)}{a\,b}}.

Passo 3

Multiplicando essas três expressões,
\cos\frac{\widehat{A}}{2}\cos\frac{\widehat{B}}{2}\cos\frac{\widehat{C}}{2} =\sqrt{\frac{p(p-a)}{b\,c}\,\cdot\frac{p(p-b)}{c\,a}\,\cdot\frac{p(p-c)}{a\,b}} =\sqrt{\frac{p^3\,(p-a)(p-b)(p-c)}{a^2b^2c^2}}.

Passo 4

Pela fórmula de Heron,
\Delta^2=p(p-a)(p-b)(p-c),
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\sqrt{p^3\,(p-a)(p-b)(p-c)} =p\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} =p\,\Delta.
Assim
\cos\frac{\widehat{A}}{2}\cos\frac{\widehat{B}}{2}\cos\frac{\widehat{C}}{2} =\frac{p\,\Delta}{a\,b\,c}.

Passo 5

Como \Delta=\frac{a\,b\,c}{4R}, segue imediatamente
\cos\frac{\widehat{A}}{2}\cos\frac{\widehat{B}}{2}\cos\frac{\widehat{C}}{2} =\frac{p}{4R}.

Resposta

\cos\frac{\widehat{A}}{2}\,\cos\frac{\widehat{B}}{2}\,\cos\frac{\widehat{C}}{2} = \frac{p}{4R}.

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