Dado um triângulo A B C, sejam h_{A}, h_{B} e h_{C} as alturas do triângulo, R o raio do círculo circunscrito ao triângulo e r o raio do círculo inscrito ao triângulo. Mostre que
\operatorname{sen} \frac{\widehat{A}}{2} \cdot \operatorname{sen} \frac{\widehat{B}}{2} \cdot \operatorname{sen} \frac{\widehat{C}}{2}=\frac{r}{4 R}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\sin\frac{\widehat A}{2}\,\sin\frac{\widehat B}{2}\,\sin\frac{\widehat C}{2}=\frac{r}{4R}
em um triângulo ABC. Para isso usaremos:
– o semiperímetro \displaystyle p=\frac{a+b+c}{2},
– a fórmula de Herão \displaystyle \Delta=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},
– que o raio inscrito satisfaz \displaystyle r=\frac{\Delta}{p},
– que o raio circunscrito satisfaz \displaystyle R=\frac{abc}{4\Delta},
– as fórmulas de meio ângulo
\sin\frac{A}{2}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}},\quad \sin\frac{B}{2}=\sqrt{\frac{(p-c)(p-a)}{ca}},\quad \sin\frac{C}{2}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)}{ab}}.

Passo 2

Multiplicando as três expressões de meio ângulo, temos
\sin\frac{A}{2}\,\sin\frac{B}{2}\,\sin\frac{C}{2} =\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}\,\frac{(p-c)(p-a)}{ca}\,\frac{(p-a)(p-b)}{ab}} =\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{abc}.

Passo 3

Da fórmula de Herão vem
\Delta^2=p(p-a)(p-b)(p-c) \;\Longrightarrow\; (p-a)(p-b)(p-c)=\frac{\Delta^2}{p}.
Como \Delta=rp, segue
(p-a)(p-b)(p-c)=\frac{(rp)^2}{p}=r^2\,p.

Passo 4

Também \Delta=\frac{abc}{4R}, logo
abc=4R\,\Delta=4R\,(r\,p).

Passo 5

Substituindo em \displaystyle\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{abc}, obtemos
\sin\frac{A}{2}\,\sin\frac{B}{2}\,\sin\frac{C}{2} =\frac{r^2\,p}{4R\,r\,p} =\frac{r}{4R}.

Resposta

\sin\frac{\widehat A}{2}\,\sin\frac{\widehat B}{2}\,\sin\frac{\widehat C}{2}=\frac{r}{4R}.

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