Dado um triângulo
, sejam
e
as alturas do triângulo,
o raio do círculo circunscrito ao triângulo e
o raio do círculo inscrito ao triângulo. Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
em um triângulo
. Para isso usaremos:
– o semiperímetro ,
– a fórmula de Herão ,
– que o raio inscrito satisfaz ,
– que o raio circunscrito satisfaz ,
– as fórmulas de meio ângulo
– o semiperímetro
– a fórmula de Herão
– que o raio inscrito satisfaz
– que o raio circunscrito satisfaz
– as fórmulas de meio ângulo
Passo 2
Multiplicando as três expressões de meio ângulo, temos
Passo 3
Da fórmula de Herão vem
Como
, segue
Passo 4
Também
, logo
Passo 5
Substituindo em
, obtemos