Dado um triângulo A B C, sejam h_{A}, h_{B} e h_{C} as alturas do triângulo, R o raio do círculo circunscrito ao triângulo e r o raio do círculo inscrito ao triângulo. Mostre que
\operatorname{sen} \frac{\widehat{A}}{2} \cdot \operatorname{sen} \frac{\widehat{B}}{2} \cdot \operatorname{sen} \frac{\widehat{C}}{2} \leq \frac{1}{8}.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo ABC com alturas h_{A},h_{B},h_{C}, raio do círculo circunscrito R e raio do círculo inscrito r, e pede para mostrar que
\sin\frac{\widehat{A}}{2}\,\sin\frac{\widehat{B}}{2}\,\sin\frac{\widehat{C}}{2}\le\frac{1}{8}.
O conteúdo principal é trigonometria em triângulos, em particular a relação que envolve r, R e as metades dos ângulos, e a desigualdade de Euler R\ge2r.

Passo 2

Usamos a identidade bem conhecida em trigonometria de triângulos:
r = 4\,R\;\sin\frac{\widehat{A}}{2}\,\sin\frac{\widehat{B}}{2}\,\sin\frac{\widehat{C}}{2}.
Dessa forma obtemos
\sin\frac{\widehat{A}}{2}\,\sin\frac{\widehat{B}}{2}\,\sin\frac{\widehat{C}}{2} =\frac{r}{4R}.

Passo 3

Aplicamos agora a desigualdade de Euler, que afirma
R\ge2r \quad\Longrightarrow\quad \frac{r}{4R}\le\frac{2r}{4\cdot2r}=\frac{1}{8}.
Logo
\sin\frac{\widehat{A}}{2}\,\sin\frac{\widehat{B}}{2}\,\sin\frac{\widehat{C}}{2} =\frac{r}{4R}\le\frac{1}{8}.

Resposta

\sin\frac{\widehat{A}}{2}\,\sin\frac{\widehat{B}}{2}\,\sin\frac{\widehat{C}}{2}\le\frac{1}{8}.

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