Dado um triângulo
, sejam
e
as alturas do triângulo,
o raio do círculo circunscrito ao triângulo e
o raio do círculo inscrito ao triângulo. Mostre que
Passo 1
O enunciado nos dá um triângulo
com alturas
, raio do círculo circunscrito
e raio do círculo inscrito
. O objetivo é mostrar que
Para isso vamos usar duas fórmulas de área de triângulo: em função de cada altura e em função do raio inscrito.
Passo 2
A área
do triângulo também pode ser escrita como
onde
. Dessa forma
Analogamente,
onde
e
.
Passo 3
Somando as três expressões, obtemos
Passo 4
Definindo o semiperímetro
, fica
Passo 5
Por outro lado, a área do triângulo também satisfaz
pois o círculo inscrito tem raio
. Logo
Concluímos que