(3,0 pontos) Determine a soma dos dois movimentos harmônicos: \mathrm{x}_{1}(\mathrm{t})=2 \cos (3 \mathrm{t}+1) e \mathrm{x}_{2}(\mathrm{t})=5 \cos (3 \mathrm{t}+2).

Passo 1

O enunciado pede a soma de dois movimentos harmônicos de mesma frequência, ou seja,
x_1(t)=2\cos(3t+1)
e
x_2(t)=5\cos(3t+2).
O conteúdo é soma de cossenos com mesma pulsação \omega=3. Vamos usar representação fasorial para obter um único movimento harmônico da forma
x(t)=A\cos(3t+\varphi).

Passo 2

Convertendo cada termo em fasor (amplitude e fase):
X_1 = 2e^{j\,1}, \quad X_2 = 5e^{j\,2}.
A soma dos fasores é
X = X_1 + X_2 = 2e^{j\,1} + 5e^{j\,2}.

Passo 3

Escrevendo em parte real e imaginária:
\Re(X)=2\cos1 + 5\cos2, \quad \Im(X)=2\sin1 + 5\sin2.
Numericamente,
2\cos1\approx1{,}0806,\quad 5\cos2\approx-2{,}0805\quad\Longrightarrow\quad \Re(X)\approx -1{,}000,
2\sin1\approx1{,}6830,\quad 5\sin2\approx4{,}5465\quad\Longrightarrow\quad \Im(X)\approx6{,}2295.

Passo 4

O módulo A e a fase \varphi vêm de
A = |X| = \sqrt{(\Re(X))^2+(\Im(X))^2} \approx \sqrt{(-1{,}000)^2 + (6{,}2295)^2} \approx 6{,}309,
\varphi = \atan2\bigl(\Im(X),\,\Re(X)\bigr) \approx \atan2(6{,}2295,\,-1{,}000) \approx 1{,}729\;\text{rad}.

Resposta

x(t)=6{,}309\cos\bigl(3t+1{,}729\bigr).

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