Dado o triângulo cujos vértices são A(1,0), B(5,0) e C(4,3), determine:
A projeção do lado A C sobre A B.

Passo 1

O enunciado dá o triângulo com vértices A(1,0), B(5,0) e C(4,3) e pede a projeção do segmento AC sobre a reta AB. Vamos usar conceitos de geometria analítica: representar os lados como vetores e aplicar a fórmula da projeção ortogonal de um vetor sobre outro.

Passo 2

Definimos os vetores de interesse:
AC = C - A = (4-1,;3-0) = (3,,3),
AB = B - A = (5-1,;0-0) = (4,,0)

Passo 3

A projeção ortogonal de AC sobre AB é dada por
projAB(AC) = ACcdotAB|AB|^2;AB

Passo 4

Calculamos o produto escalar e o quadrado da norma de AB:
ACcdotAB = 3cdot4 + 3cdot0 = 12, |AB|^2 = 4^2+0^2 = 16
Logo o fator escalar é tfrac1216=tfrac34, e
projAB(AC) = tfrac34,(4,,0) = (3,,0)

Passo 5

Esse vetor projetado parte de A, então o ponto D imagem de C sobre AB é
D = A + (3,0) = (1+3,;0+0) = (4,,0)
Portanto a projeção de AC em AB é o segmento de A(1,0) até D(4,0), cujo comprimento é
| (3,0)| = 3

Resposta

A projeção do lado AC sobre AB é o segmento de A(1,0) até D(4,0), de comprimento 3.

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