Dado o sistema homogêneo: cx-y-z=0 3 x-y=0 2 x-4 y-5 z=0
Encontre o conjunto-solução desse sistema. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear homogêneo em três incógnitas :
O conteúdo aqui é resolução de sistemas lineares homogêneos por eliminação de Gauss. Vamos montar a matriz aumentada, reduzir, identificar variáveis livres e escrever a solução em forma paramétrica.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e aplicamos eliminação de Gauss:
[ccc|c 1 & -1 & -1 & 0 3 & -1 & 0 & 0 2 & -4 & -5 & 0 ] ;xrightarrowR2 R2-3R1,;R3 R3-2R1; [ccc|c 1 & -1 & -1 & 0 0 & 2 & 3 & 0 0 & -2 & -3 & 0 ]
Em seguida somamos R3 + R2:
[ccc|c 1 & -1 & -1 & 0 0 & 2 & 3 & 0 0 & 0 & 0 & 0 ]

Passo 3

Das linhas não nulas obtemos as equações
x - y - z = 0, 2y + 3z = 0
Da segunda equação segue
y = -32,z
Substituindo em x - y - z = 0,
x = y + z = -32z + z = -12z

Passo 4

Tomamos z como parâmetro livre, digamos z = tinR. Então
x = -tfrac12,t, y = -tfrac32,t, z = t
Em forma de vetor:
(x,y,z) = tl(-tfrac12,,-tfrac32,,1r)

Passo 5

Para ficar mais bonito, podemos reescrever com parâmetro lambda=2t, obtendo
(x,y,z) = lambda,(-1,-3,2), lambdainR
Como o sistema é homogêneo, sempre existe a solução trivial e aqui o espaço solução é a reta que passa pela origem e pelo vetor (-1,-3,2).

Resposta

O conjunto-solução é
l,lambda,(-1,-3,2)mid lambdainRr

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