Encontre todos os valores de x que satisfazem a desigualdade |x^2-x| <= 2

Passo 1

O enunciado pede todos os x tais que
l|x^2-xr|<= 2
Para resolver uma desigualdade com valor absoluto, usamos a equivalência
l|Ar|<= BLong<=ftrightarrow -B<= A<= B
Aqui A=x^2-x e B=2.

Passo 2

Aplicando essa regra, obtemos a dupla desigualdade
-2 <= x^2-x <= 2

Passo 3

Primeiro lidamos com
x^2-x <= 2 Long<=ftrightarrow x^2-x-2 <= 0
Fatorando a quadrática:
x^2-x-2 = (x-2)(x+1)
Como é uma parábola com coeficiente de x^2 positivo, ela fica abaixo ou no eixo x entre suas raízes. Logo
(x-2)(x+1)<= 0 Long<=ftrightarrow xin[-1,2]

Passo 4

Agora a outra parte:
x^2-x >= -2 Long<=ftrightarrow x^2-x+2 >= 0
O discriminante é
De<a = (-1)^2-4cdot1cdot2 = 1-8 = -7 <0,
de modo que x^2-x+2 é sempre positivo. Dessa forma essa desigualdade vale para todo xinR.

Passo 5

A solução final é a interseção das soluções das duas partes:
xin[-1,2]capR = [-1,2]

Resposta

xin[-1,2].

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