QUESTÃO No.1 (25 pontos)
Resolva o seguinte problema de valor inicial (PVI) utilizando como ferramenta a Transformada de Laplace:
Observação importante:
Este exercício não será corrigido se ele for resolvido de uma forma diferente daquela indicada no enunciado.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado nos dá e o que se pede.
- Enunciado: resolver o problema de valor inicial usando Transformada de Laplace:
-
O que é pedido: encontrar
para (solução do PVI) usando a Transformada de Laplace. -
Informações relevantes fornecidas:
- Há dois termos forçantes:
(força contínua) e (impulso instantâneo em ). - Condições iniciais nulas:
e .
- Há dois termos forçantes:
Passo 2
Relembrando propriedades da Transformada de Laplace que vou usar (sem pular etapas):
- Linearidade:
. - Derivadas:
onde . - Delta deslocada:
- Teorema do deslocamento no tempo (para inversa):
onde e é o degrau unitário. - Transformadas padrão:
Agora aplico a Transformada de Laplace à equação diferencial. Como
e
, temos
Aplicando a transformada em ambos os lados:
Substituindo as transformadas conhecidas:
Passo 3
Isolo
e separo as parcelas para inverter com clareza:
Observo que
Assim escrevo
Interpretação:
- A segunda parcela é direta pela propriedade do deslocamento: sua inversa será um termo que aparece somente para
. - A primeira parcela é produto de
por , que corresponde ao produto de transformadas; a inversa pode ser obtida por convolução ou resolvendo o PVI com apenas a força e condições iniciais nulas. Vou optar por resolver explicitamente o problema para a força (método dos coeficientes indeterminados + solução homogênea), porque dá uma expressão explícita e fácil de combinar com a resposta ao impulso.
Passo 4
Resolver o PVI associado apenas à força
Passo 1 do método: encontrar uma solução particular
. Tento a forma
onde
e
são constantes a determinar. Calculo as derivadas:
Substituo na equação:
Agrupando coeficientes de
e
:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: .
Portanto o sistema paraé
Resolvo: da segunda equação
. Assim
Passo 5
Agora a solução geral da parte sem delta é a soma da homogênea com
.
- Equação homogênea:
Equação característica
tem raízes
Logo a solução homogênea é
com constantes
a determinar pelas condições iniciais da parte sem delta.
A solução total (antes do impulso) é
Imponho as condições iniciais
e
:
- Em
:
- Calculo
. Primeiro a derivada da homogênea:
Derivada de
:
Logo
Substituo
:
Portanto
e
. Assim a solução para a parte contínua (antes de qualquer impulso) é
Passo 6
Agora trato a contribuição da segunda parcela de
,
Pelo teorema do deslocamento no domínio de Laplace, se
então
. Logo
Interpretação física rápida (útil na prova): o impulso
aplica um “salto” na derivada de
em
. De fato, integrando a equação em torno de
obtém-se
o que é consistente com a adição do termo acima (cheque de consistência).
Passo 7
Combino as duas contribuições (resposta ao
com condições iniciais nulas e resposta ao impulso deslocado). A solução total é, portanto,
onde
foi encontrada no passo anterior. Escrevendo de forma explícita e limpa, temos a solução em duas faixas de tempo:
- Para
(antes do impulso):
- Para
(após o impulso), adiciona-se o termo da resposta ao impulso deslocado: