4- Há uma valor r tal que x=1, y=2 e z=r seja uma solução para o sistema linear a seguir? Se houver, encontre-o.
\left\{\begin{array}{lll} 2 x+3 y-z & = & 11 \\\ x-y+2 z & = & -7 \\\\ 4 x+y-2 z & = & 12 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede verificar se existe um valor r tal que o triplo (x,y,z)=(1,2,r) seja solução do sistema linear e, em caso afirmativo, determiná-lo. O conteúdo é resolução de sistemas lineares por substituição de variáveis.

Passo 2

Substituindo (x,y,z)=(1,2,r) na primeira equação
2\cdot1 + 3\cdot2 - r = 11,
obtém-se
2 + 6 - r = 11 \quad\Longrightarrow\quad 8 - r = 11 \quad\Longrightarrow\quad r = -3.

Passo 3

Substituindo na segunda equação
1 - 2 + 2r = -7,
temos
-1 + 2r = -7 \quad\Longrightarrow\quad 2r = -6 \quad\Longrightarrow\quad r = -3,
confirmando o mesmo valor.

Passo 4

Substituindo na terceira equação
4\cdot1 + 1\cdot2 - 2r = 12,
vem
4 + 2 - 2r = 12 \quad\Longrightarrow\quad 6 - 2r = 12 \quad\Longrightarrow\quad r = -3,
mostrando consistência em todas as equações.

Resposta

Sim. O valor é r = -3.

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