Dado o triângulo triang<= A B C, A=(3,-1,-1), B=(1,2,-7) e C=(-5,14,-3), encontre alpha: R longrightarrow R^3 cujo traço coincida com
a bissetriz do ângulo interno B.

Passo 1

O enunciado dá o triângulo triang<= ABC com
A=(3,-1,-1), B=(1,2,-7), C=(-5,14,-3)
e pede uma parametrização alpha: Rto R^3 cujo traço seja a bissetriz interna do ângulo em B.
Conteúdo: bissetriz interna de um ângulo em espaço vetorial e uso de vetores unitários.

Passo 2

Vamos obter os vetores que saem de B em direção a A e a C:
BA=A-B=(3-1,,-1-2,,-1+7)=(2,-3,6),
BC=C-B=(-5-1,,14-2,,-3+7)=(-6,12,4)

Passo 3

Normalizamos BA e BC para obter vetores unitários:
|BA|=raiz2^2+(-3)^2+6^2=raiz49=7, |BC|=raiz(-6)^2+12^2+4^2=raiz196=14
Então
e1=BA|BA| =l(tfrac27,-tfrac37,tfrac67r), e2=BC|BC| =l(-tfrac37,tfrac67,tfrac27r)

Passo 4

A direção da bissetriz interna é a soma dos vetores unitários:
d = e1 + e2 =l(tfrac27-tfrac37,,-tfrac37+tfrac67,,tfrac67+tfrac27r) =l(-tfrac17,tfrac37,tfrac87r)
Multiplicando por 7 (só para evitar frações), podemos usar
d=(-1,3,8)
como vetor diretor.

Passo 5

A parametrização da reta que passa por B com direção d é
alpha(t)=B+t, d =(1,2,-7)+t,(-1,3,8)
Para obter só a bissetriz interna (meia-reta), basta tomar t>=0.

Resposta

boxedalpha(t)=(1-t,;2+3t,;-7+8t), tin R,
cuja imagem para t>=0 é a bissetriz interna do ângulo em B.

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