Exercício 21. (Apostol seção 2.20 exercícios 1 a 8) Ache as soluções (se existirem dos seguintes sistemas)
l1 x+1 y-3 z+1 u=5 2 x-1 y+1 z-2 u=2 7 x+1 y-7 z+3 u=3

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear com quatro incógnitas (x,y,z,u) e três equações:
x + y -3z + u = 5, 2x - y + z -2u = 2, 7x + y -7z +3u = 3
O conteúdo principal é a eliminação de Gauss: usar operações elementares para reduzir o sistema e expressar as variáveis livres em função de um parâmetro.

Passo 2

Usamos a primeira equação para zerar x nas outras. Subtraímos 2 vezes a equação 1 da equação 2, e 7 vezes a equação 1 da equação 3:
Da equação 2 menos 2, times,equação 1 obtemos
-3y + 7z -4u = -8
ou, multiplicando por -1,
3y -7z +4u = 8
Da equação 3 menos 7, times,equação 1 obtemos
-6y +14z -4u = -32
ou, dividindo por -2,
3y -7z +2u = 16

Passo 3

Agora subtraímos a última linha da penúltima para isolar u:
(3y -7z +4u) - (3y -7z +2u) = 8 - 16 Longrightarrow 2u = -8 Longrightarrow u = -4

Passo 4

Substituímos u=-4 em 3y -7z +4u = 8:
3y -7z +4(-4) = 8 Longrightarrow 3y -7z = 8 +16 = 24
Dessa forma sobra uma relação entre y e z:
3y -7z = 24

Passo 5

Escolhemos z como parâmetro livre, digamos z = t. Então
y = 24 +7t3 = 8 + 73t
Finalmente usamos a primeira equação para x:
x = 5 - y +3z - u = 5 -l(8 + tfrac73tr) +3t -(-4) = 1 + tfrac23t

Resposta

As soluções (infinitas) formam a reta de parâmetro tinR:
(x,y,z,u) = l(1 + tfrac23t,;8 + tfrac73t,;t,;-4r)

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