Dado o triângulo de vértices A=(-1,1,3) e B=(1,2,-1) e C=(0,-3, 4 ). Calcule:
a) O perímetro do triângulo triang<= A B C.
b) A área deste triângulo.

Passo 1

O enunciado nos dá o triângulo de vértices
A = (-1,1,3), B = (1,2,-1), C = (0,-3,4)
e pede (a) o perímetro e (b) a área. Vamos usar (i) a fórmula da distância entre dois pontos em R^3 para o perímetro e (ii) o módulo do produto vetorial para a área.

Passo 2

Calculamos os vetores das arestas e suas normas:
O vetor AB é
AB = B - A = (1-(-1),,2-1,,-1-3) = (2,,1,,-4),
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lvert ABrvert = raiz2^2 + 1^2 + (-4)^2 = raiz4 + 1 + 16 = raiz21
O vetor BC é
BC = C - B = (0-1,,-3-2,,4-(-1)) = (-1,,-5,,5),
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lvert BCrvert = raiz(-1)^2 + (-5)^2 + 5^2 = raiz1 + 25 + 25 = raiz51
O vetor CA é
CA = A - C = (-1-0,,1-(-3),,3-4) = (-1,,4,,-1),
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lvert CArvert = raiz(-1)^2 + 4^2 + (-1)^2 = raiz1 + 16 + 1 = raiz18 = 3raiz2
Portanto, o perímetro é
P = lvert ABrvert + lvert BCrvert + lvert CArvert = raiz21 + raiz51 + 3raiz2

Passo 3

Para a área usamos
Área = tfrac12,llvert ABtimesACrrvert, Á
onde
AC = C - A = (0-(-1),,-3-1,,4-3) = (1,,-4,,1)
O produto vetorial é
ABtimesAC = i&j&k 2&1&-4 1&-4&1 =(-15,,-6,,-9)
O módulo desse vetor é
llvert(-15,-6,-9)rrvert = raiz(-15)^2 + (-6)^2 + (-9)^2 = raiz225 + 36 + 81 = raiz342 = 3raiz38
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Área = tfrac12cdot 3raiz38 = 3raiz382 Á

Resposta

a) P = raiz21 + raiz51 + 3raiz2
b) Área = 3raiz382Á

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