Dado o tubo de diâmetro de 0,5 \mathrm{~m} cujo eixo passa a 0,45 \mathrm{~m} do plano de referência, a vazão é de 0,397 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}.
3- Sabendo-se que a distribuição de velocidades na seção é tal que \alpha=1,2 determinar a cota da LE do escoamento z+\frac{p}{\gamma}+\frac{\alpha U^{2}}{2 g}.

Passo 1

O que o problema pede e os dados fornecidos (peguei estes dados do enunciado e da figura):
  • Queremos a cota da Linha de Energia (LE) no trecho considerado, isto é o valor de \displaystyle z+\frac{p}{\gamma}+\frac{\alpha U^{2}}{2g}.
  • Dados fornecidos:
    • diâmetro do tubo \displaystyle D=0,5\\ \mathrm{m};
    • o eixo do tubo está a \displaystyle z_{\text{eixo}}=0,45\\ \mathrm{m} do plano de referência;
    • vazão \displaystyle Q=0,397\\ \mathrm{m^{3}/s};
    • coeficiente de correção cinética \displaystyle \alpha=1,2.
  • Informação ausente: o problema não deu explicitamente a pressão absoluta \displaystyle p na seção. Para prosseguir (e porque a figura mostra bocais/piezômetros abertos), assumimos que a seção está à pressão atmosférica, então \displaystyle \frac{p}{\gamma}=0. Se a seção estivesse sob outra pressão, bastaria acrescentar \displaystyle \frac{p}{\gamma} ao resultado final.

Passo 2

Calcular a área da seção transversal e explicar a fórmula.
  • Fórmula: a área de um círculo é \displaystyle A=\frac{\pi D^{2}}{4}, onde \displaystyle D é o diâmetro.
A=\frac{\pi(0,5)^{2}}{4}=\pi\cdot 0,0625\approx 0,19635\\ \mathrm{m^{2}}.
Explicação didática: usamos essa fórmula porque a seção do tubo é circular; nela cabe o fluxo Q, então a velocidade média será o fluxo dividido pela área.

Passo 3

Calcular a velocidade média \displaystyle U.
  • Definição: a velocidade média é \displaystyle U=\frac{Q}{A}.
U=\frac{0,397}{0,19635}\approx 2,022\\ \mathrm{m/s}.
Comentário: \displaystyle U é a velocidade média que, multiplicada pela área, dá a vazão; como a velocidade real pode variar na seção, usamos o coeficiente \displaystyle \alpha para corrigir a energia cinética.

Passo 4

Explicar o coeficiente \displaystyle \alpha e calcular a cabeça cinética corrigida.
  • Conceito: \displaystyle \alpha (fator de correção cinética) corrige o termo de energia cinética quando a distribuição de velocidades sobre a seção não é uniforme. A definição teórica é
\displaystyle \alpha=\frac{1}{A U^{3}}\int_{A} u^{3}\,dA,
onde \displaystyle u é a velocidade local; na prática é dado pelo enunciado ( \displaystyle \alpha=1,2).
  • A cabeça cinética corrigida vale \displaystyle \frac{\alpha U^{2}}{2g}. Usando \displaystyle g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}},
\frac{\alpha U^{2}}{2g}=1,2\cdot\frac{(2,022)^{2}}{2\cdot 9,81}.
Calculemos passo a passo:
U^{2}=(2,022)^{2}\approx 4,0889, \qquad 2g=2\cdot 9,81=19,62,
\frac{U^{2}}{2g}\approx\frac{4,0889}{19,62}\approx 0,2086\\ \mathrm{m},
\frac{\alpha U^{2}}{2g}=1,2\cdot 0,2086\approx 0,2503\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Montar a expressão final da LE e calcular a cota numérica.
  • A LE na seção é \displaystyle z+\frac{p}{\gamma}+\frac{\alpha U^{2}}{2g}.
  • Tomando \displaystyle z=z_{\text{eixo}}=0,45\\ \mathrm{m} e \displaystyle \frac{p}{\gamma}=0 (pressão atmosférica),
z+\frac{p}{\gamma}+\frac{\alpha U^{2}}{2g}=0,45+0+0,2503\approx 0,7003\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma razoável para três algarismos significativos: \displaystyle 0,700\\ \mathrm{m}.

Resposta

0,700\\ \mathrm{m}

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