QUESTÃO 2) (Valor 2,5) Água flui de uma bomba através de um tubo de aço comercial de 0.25 m de diâmetro, por uma distância de 5000 m a partir da descarga da bomba, para um reservatório abcrio para a atmosfera, O nível da água no reservatório está 7 m acỉma da descarga da bomba e a velocidade da água no tubo é de 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Considere como perda secundária apenas a entrada no reservatório (\mathrm{K}=1). Marcar como foi obtido o fator de atrito no Ábaco de Moody. Dados: \alpha_{1}=\alpha_{2}=1 . e_{\text {aço comercial }}=0,045 \mathrm{~mm}ç. Propriedades da água: \mu=1 \times 10^{-3} \mathrm{Kg} / \mathrm{m} . \mathrm{s} e \rho=1000 \mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3}. Determine:
A) A perda de carga total e qual o percentual que esta representa em relação comprimento reto de tubulação (5 \mathrm{~km}) .(1,0)
B) A pressão, em Pa, na descarga da bomba. (1,5)

Passo 1

Vou listar exatamente o que o enunciado dá e o que pede (assumindo que o “percentual” pedido em (A) é o quão significativa é a perda secundária de entrada em relação à perda por atrito ao longo dos 5 km).
Dados fornecidos:
  • Diâmetro interno do tubo: \,D=0,25\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento reto do tubo: \,L=5000\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade da água no tubo: \,V=3\\ \mathrm{m/s}.
  • Nível do reservatório acima da descarga da bomba: \,z_2-z_1=7\\ \mathrm{m} (usar como diferença de cota entre superfície livre do reservatório e descarga da bomba).
  • Perda secundária considerada: entrada no reservatório com K=1.
  • Coeficientes cinéticos: \alpha_1=\alpha_2=1.
  • Rugosidade do aço comercial: \,e=0{,}045\\ \mathrm{mm}=0{,}000045\\ \mathrm{m}.
  • Viscosidade dinâmica da água: \,\mu=1\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/(m\cdot s)}.
  • Densidade da água: \,\rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Aceleração da gravidade (usar): \,g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
O enunciado pede:
(A) A perda de carga total entre a descarga da bomba e a superfície livre do reservatório (em metros de coluna de água) e qual o percentual que a perda secundária de entrada representa em relação à perda por atrito ao longo dos 5 km.
(B) A pressão, em pascal, na descarga da bomba.
Observação de interpretação: quando calcular a pressão na descarga da bomba vou fornecer a pressão manométrica (gauge) necessária e também a pressão absoluta (somando-se a pressão atmosférica padrão p_{atm}=101325\\ \mathrm{Pa}), para evitar ambiguidades.

Passo 2

Calcular o número de Reynolds \,Re para saber o regime de escoamento (isso é necessário para obter o fator de atrito). Fórmula e significado:
Re=\frac{\rho V D}{\mu},
onde
  • \rho é a densidade do fluido ( \mathrm{kg/m^3}),
  • V é a velocidade média ( \mathrm{m/s}),
  • D é o diâmetro ( \mathrm{m}),
  • \mu é a viscosidade dinâmica ( \mathrm{kg/(m\cdot s)}).
Aplicando os valores:
Re=\frac{1000\cdot 3\cdot 0{,}25}{1\times10^{-3}}=\frac{750}{1\times10^{-3}}=7{,}5\times10^{5}.
Interpretação rápida: \,Re=7{,}5\times10^{5} indica escoamento turbulento.

Passo 3

Calcular a rugosidade relativa \,e/D (necessária para o Ábaco de Moody):
\frac{e}{D}=\frac{0{,}000045}{0{,}25}=1{,}8\times10^{-4}.
Significado: \,e é a rugosidade absoluta do material; a razão \,e/D posiciona a curva de rugosidade no Ábaco de Moody.

Passo 4

Obter o fator de atrito \,f no Ábaco de Moody (explicação didática e método numérico de referência).
  • No Ábaco de Moody: localizar o ponto com abscissa \,Re=7{,}5\times10^{5} e, verticalmente, a curva correspondente a \,e/D=1{,}8\times10^{-4}. Ler a ordenada correspondente ao fator de atrito \,f. Para esse par de valores a leitura no Moody dá f em torno de 0{,}015.
  • Como here queremos um valor numérico preciso e para “marcar” como foi obtido no Moody, também uso a fórmula explícita de Swamee–Jain (uma expressão que fornece diretamente f muito próxima da leitura do Moody):
f=\frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\frac{e}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{Re^{0{,}9}}\right)\right]^2}.
Agora aplicando números:
\frac{e}{3{,}7D}=\frac{0{,}000045}{3{,}7\cdot0{,}25}=4{,}8649\times10^{-5},
\frac{5{,}74}{Re^{0{,}9}}=\frac{5{,}74}{(7{,}5\times10^{5})^{0{,}9}}\approx2{,}97\times10^{-5},
\frac{e}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{Re^{0{,}9}}\approx7{,}835\times10^{-5},
\log_{10}(7{,}835\times10^{-5})\approx -4{,}106,
f=\frac{0{,}25}{(-4{,}106)^2}\approx0{,}0148.
Conclusão prática: marcando no Ábaco de Moody o ponto (Re=7{,}5\times10^{5},\,e/D=1{,}8\times10^{-4}) obtém-se f\approx0{,}0148. (Portanto o fator de atrito usado será \,f=0{,}0148.)

Passo 5

Calcular a perda por atrito ao longo do tubo usando a fórmula de Darcy–Weisbach. Fórmula e explicação:
h_f = f\frac{L}{D}\cdot\frac{V^2}{2g},
onde
  • h_f é a perda de carga por atrito (m),
  • f é o fator de atrito (Darcy),
  • L é o comprimento da tubulação (m),
  • D é o diâmetro (m),
  • V é a velocidade média (m/s),
  • g é a aceleração da gravidade (m/s^2).
Calcular o termo dinâmico:
\frac{V^2}{2g}=\frac{3^2}{2\cdot9{,}81}=\frac{9}{19{,}62}\approx0{,}458716\\ \mathrm{m}.
Razão L/D:
\frac{L}{D}=\frac{5000}{0{,}25}=20000.
Agora h_f:
h_f=0{,}0148\cdot20000\cdot0{,}458716\approx135{,}96\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Calcular a perda secundária de entrada (K=1):
h_m=K\cdot\frac{V^2}{2g}=1\cdot0{,}458716\approx0{,}4587\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Somar as perdas para obter a perda de carga total entre a descarga da bomba e a superfície livre do reservatório:
H_{total}=h_f+h_m\approx135{,}96+0{,}4587=136{,}42\\ \mathrm{m}.
Calcular o percentual que a perda de entrada representa em relação à perda por atrito ao longo dos 5 km (interpretação: ver quão importante é a perda secundária comparada à perda por atrito):
\%\\ \text{(entrada sobre total)}=\frac{h_m}{H_{total}}\times100\%= \frac{0{,}4587}{136{,}42}\times100\%\approx0{,}336\%.
Observação interpretativa: a perda de entrada é desprezível frente à perda por atrito no longo trecho de 5 km (aprox 0,34% do total).

Passo 8

Determinar a pressão na descarga da bomba usando a equação de Bernoulli entre o ponto 1 (descarga da bomba, seção do tubo) e o ponto 2 (superfície livre do reservatório, aberta à atmosfera).
Forma utilizada (com \alpha_1=\alpha_2=1, velocidades iguais nas seções consideradas):
\frac{p_1}{\rho g}+z_1+\frac{V^2}{2g}=\frac{p_2}{\rho g}+z_2+\frac{V^2}{2g}+H_{total}.
As parcelas cinéticas \frac{V^2}{2g} cancelam e \,p_2=p_{atm}. Isolando p_1 (em Pa):
p_1=p_{atm}+\rho g\,(z_2-z_1+H_{total}).
Substituindo valores ( p_{atm}=101325\\ \mathrm{Pa}, \rho g=1000\cdot9{,}81=9810\\ \mathrm{N/m^3}, z_2-z_1=7\\ \mathrm{m}, H_{total}=136{,}42\\ \mathrm{m}):
p_1=101325+9810\cdot(7+136{,}42)=101325+9810\cdot143{,}42.
Calcule:
9810\cdot143{,}42\approx1{,}406{,}970\\ \mathrm{Pa},
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p_1\approx101325+1{,}406{,}970=1{,}508{,}295\\ \mathrm{Pa}.
A pressão manométrica (gauge) na descarga da bomba é apenas o termo \rho g(z_2-z_1+H_{total}):
p_{1,\text{gauge}}=\rho g\,(z_2-z_1+H_{total})\approx1{,}406{,}970\\ \mathrm{Pa}.

Resposta

(A) Perda de carga total H_{total}\approx136{,}42\\ \mathrm{m}.
O percentual que a perda de entrada representa em relação ao total é aproximadamente 0{,}336\% (ou seja, a entrada contribui com cerca de 0{,}34\% do total; a maior parte vem da perda por atrito ao longo dos 5 km).
(B) Pressão na descarga da bomba: pressão absoluta p_1\approx1{,}508{,}295\\ \mathrm{Pa}.
Pressão manométrica (gauge) correspondente p_{1,\text{gauge}}\approx1{,}406{,}970\\ \mathrm{Pa}.

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