Dado:
u=lang<= 1,0,0rang<=, v=lang<= 0,1,0rang<=, w=lang<= 0,0,1rang<=
Calcule o volume do paralelepípedo.

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores em R^3:
vec u=lang<=1,0,0rang<=, vec v=lang<=0,1,0rang<=, vec w=lang<=0,0,1rang<=
e pede o volume do paralelepípedo que eles formam. Vamos usar o produto misto (ou determinante) para encontrar esse volume.

Passo 2

O volume V do paralelepípedo gerado por vec u, vec v e vec w é dado por
V = l|vec u cdot (vec v times vec w)r|
Aqui, vec vtimesvec w é um vetor perpendicular ao plano gerado por vec v e vec w cuja magnitude é a área do paralelogramo base, e o produto escalar com vec u projeta essa área na direção de vec u.

Passo 3

Calcular vec vtimesvec w pelo determinante:
vec v times vec w = i & j & k 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 = i,(1cdot1 - 0cdot0) - j,(0cdot1 - 0cdot0) + k,(0cdot0 - 1cdot0) = lang<=1,0,0rang<=

Passo 4

Fazer o produto escalar com vec u:
vec u cdot (vec v times vec w) = lang<=1,0,0rang<= cdot lang<=1,0,0rang<= = 1
Portanto, o volume é
V = |1| = 1

Resposta

1

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