Dado u=(x, y) \in \mathbb{R}^{2}, determine o vetor obtido pela a rotação anti-horária ângulo \theta=\pi / 4 em u.

Passo 1

O enunciado pede: “Dado u=(x,y)\in\mathbb{R}^2, determinar o vetor obtido pela rotação anti-horária de ângulo \theta=\pi/4 aplicada a u.”
Informações dadas:
  • O vetor inicial é u=(x,y), onde x e y são as componentes reais.
  • O ângulo de rotação é \theta=\pi/4 (isto é, 45^\circ).
    O que devemos fornecer: o vetor resultante da rotação de u no plano por \pi/4 no sentido anti-horário.

Passo 2

Entendendo o que é rotação linearmente: uma rotação no plano por um ângulo \theta é uma transformação linear que preserva comprimento e orienta o vetor girando-o no sentido anti-horário. Essa transformação é representada por uma matriz 2\times2 chamada matriz de rotação. A matriz de rotação por um ângulo \theta é
R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}.
Aqui, cada entrada tem o papel:
  • \cos\theta e \sin\theta são as funções trigonométricas do ângulo \theta.
  • Multiplicar R(\theta) por um vetor coluna \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} dá o vetor rotacionado.]

Passo 3

Aplicando a definição: o vetor rotacionado u' é dado por
u' = R(\theta)\,u = \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}.
Fazendo a multiplicação de matriz por vetor, obtemos as componentes de u':
u'=\begin{pmatrix} x\cos\theta - y\sin\theta\\[6pt] x\sin\theta + y\cos\theta \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora substituímos o ângulo \theta=\pi/4. As funções trigonométricas para \pi/4 são conhecidas:
\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Isto significa que, para \theta=\pi/4,
x\cos\theta - y\sin\theta = x\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} - y\cdot\frac{\sqrt{2}}{2},
x\sin\theta + y\cos\theta = x\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} + y\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 5

Fatorando \frac{\sqrt{2}}{2} das duas componentes, o vetor rotacionado fica
u'=\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2}\,(x-y)\\[6pt] \frac{\sqrt{2}}{2}\,(x+y) \end{pmatrix}.
Para intuir: se u=(1,0) (vetor no eixo x), a rotação por \pi/4 \left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right), que é um vetor apontando a 45^\circ, conforme esperado.]

Resposta

\displaystyle \begin{pmatrix}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,(x-y)\\[6pt]\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,(x+y)\end{pmatrix}]

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