Dado u=(x, y) \in \mathbb{R}^{2}, determine o vetor obtido pela a rotação anti-horária ângulo \theta=\pi / 4 em u.
Passo 1
O enunciado pede: “Dado u=(x,y)\in\mathbb{R}^2, determinar o vetor obtido pela rotação anti-horária de ângulo \theta=\pi/4 aplicada a u.”
Informações dadas:
O vetor inicial é u=(x,y), onde x e y são as componentes reais.
O ângulo de rotação é \theta=\pi/4 (isto é, 45^\circ).
O que devemos fornecer: o vetor resultante da rotação de u no plano por \pi/4 no sentido anti-horário.
Passo 2
Entendendo o que é rotação linearmente: uma rotação no plano por um ângulo \theta é uma transformação linear que preserva comprimento e orienta o vetor girando-o no sentido anti-horário. Essa transformação é representada por uma matriz 2\times2 chamada matriz de rotação. A matriz de rotação por um ângulo \theta é
Para intuir: se u=(1,0) (vetor no eixo x), a rotação por \pi/4 dá \left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right), que é um vetor apontando a 45^\circ, conforme esperado.]