Sejam
e
sequências convergentes para
e
, respectivamente. Suponhamos que
para todo
. Prove que
(a)
;
(b) (Teorema do Sanduíche) se
, então
.
(a)
(b) (Teorema do Sanduíche) se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
Informações:
Perguntas:
(a) Provar que .
(b) Provar que, se , então
.
(a) Provar que
(b) Provar que, se
Passo 2
Lembrete do conceito que vamos usar (definição
-
de convergência), explicado devagarinho.
Definição: dizer que
converge para
significa que
Aqui
é qualquer número positivo pequeno que eu escolha; o papel do
é garantir que, a partir de um índice suficientemente grande, todos os
ficam dentro do intervalo
. O mesmo vale para
convergindo para
.
Vamos aplicar essa definição de forma direta nas duas partes do problema.
Passo 3
Prova de (a): mostrar que
.
Estratégia: provar por contradição. Suponha que
. Então a diferença
é um número positivo. Escolho
Como
, existe
tal que, para todo
,
Em particular, para
obtemos
De modo análogo, como
, existe
tal que, para todo
,
Em particular, para
obtemos
Agora tome
. Para todo
temos simultaneamente
logo
para todo
. Mas isso contradiz a hipótese dada de que
, em particular implica
para todo
. Portanto a suposição
é impossível. Concluímos que necessariamente
Passo 4
Prova de (b): caso
, mostrar que
.
Agora sabemos (pelo enunciado da parte b) que
. Quero mostrar que para todo
existe
tal que, para todo
,
.
Seja
qualquer. Como
, existe
com, para todo
,
Como
e
, existe
com, para todo
,
Tome
. Para todo
temos as duas desigualdades acima simultaneamente, e lembrando a hipótese de encadeamento
obtemos, para
,
Isto implica diretamente
Como
foi arbitrário, pela definição
-
isso mostra que
. Essa é exatamente a versão sequencial do famoso Teorema do Sanduíche (ou Teorema do Confronto): se uma sequência fica sempre entre duas que convergem para o mesmo limite, então ela também converge para esse limite.
Resposta
(a)
(b)
(b)